Liczby towarzyskie

Liczby towarzyskie (ang. sociable numbers) – liczby naturalne, których sumy dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) tworzą cykliczną sekwencję, która rozpoczyna się i kończy tą samą liczbą.

Definicja

Liczby towarzyskie są uogólnieniem liczb doskonałych i zaprzyjaźnionych. Pierwsze dwie sekwencje, lub łańcuchy towarzyskie, odkrył i nazwał belgijski matematyk Paul Poulet w 1918. W zbiorze liczb towarzyskich każda liczba jest sumą dzielników właściwych poprzedniej. Aby taka sekwencja była towarzyska, musi być cykliczna i wracać do punktu startowego.

Okresem lub rzędem sekwencji liczb towarzyskich jest liczba występujących w cyklu liczb.

Jeśli okres sekwencji jest równy 1, to liczba jest liczbą towarzyską rzędu 1 lub liczbą doskonałą. Na przykład dzielnikami właściwymi 6 są 1, 2 i 3, których suma wynosi właśnie 6. Para liczb zaprzyjaźnionych jest zbiorem liczb towarzyskich rzędu 2. Nie są znane liczby towarzyskie rzędu 3.

Przykłady

Przykład dla rzędu 4:

Suma dzielników właściwych $1264460$ $(=2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719){:}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860

Suma dzielników właściwych $1547860$ $(=2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401){:}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636

Suma dzielników właściwych $1727636$ $(=2^{2}\cdot 521\cdot 829){:}$

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184

Suma dzielników właściwych $1305184$ $(=2^{5}\cdot 40787){:}$

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Lista znanych liczb towarzyskich

Poniższa tabela prezentuje wszystkie znane (stan z listopada 2015) liczby towarzyskie według rzędu:

Rząd	Liczba sekwencji
1 (liczba doskonała)	49
2 (liczby zaprzyjaźnione)	1 007 466 590
4	366
5	1
6	5
8	4
9	1
28	1

Zastanawiająca jest liczna reprezentacja liczb towarzyskich rzędu 4 w porównaniu z innymi rzędami.

Bibliografia

• Henri Cohen. On amicable and sociable numbers. „Mathematics of Computation”. 24 (110), s. 423–429, 1970. American Mathematical Society. ISSN 0025-5718. 
• Paul Poulet. Question 4865. „L’Intermédiaire des Mathématiciens”. 25, s. 100–101, 1918. OCLC 504209870. (fr.). 

Linki zewnętrzne

• A list of aliquot cycles of length greater than 2. [dostęp 2016-06-08]. (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sociable Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-06-08]  (ang.).