Liniowa nierówność macierzowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liniowa nierówność macierzowa (ang. linear matrix inequality, LMI) - termin stosowany w teorii sterowania i optymalizacji.

Definicja[edytuj]

W optymalizacji wypukłej liniowa nierówność macierzowa dana jest następującym wyrażeniem:

gdzie:

  • jest wektorem liczb rzeczywistych,
  • o wymiarach macierzami symetrycznymi ,
  • to uogólniona nierówność, która oznacza, że jest macierzą półokreśloną dodatnio należącą do stożka półokreślonego dodatnio w podprzestrzeni macierzy symetrycznych .

Liniowa nierówność macierzowa określa ograniczenia wypukłe na .

Zastosowania[edytuj]

Istnieją efektywne metody numeryczne pozwalające na określenie czy liniowa nierówność macierzowa jest dopuszczalna (to znaczy czy istnieje taki wektor , że , albo dające rozwiązanie problemu optymalizacji wypukłej z ograniczeniami dla liniowej nierówności macierzowej.

Wiele problemów optymalizacji w teorii sterowania, identyfikacji układów i przetwarzaniu sygnałów można sformułować z wykorzystaniem liniowej nierówności macierzowej. Nierówności te znajdują również zastosowanie w wielomianach będących sumą kwadratów. Prototypiczne prymalne i dualne programowanie półokreślone stanowi minimalizację rzeczywistej funkcji liniowej podlegającą odpowiednio prymalnemu i dualnemu stożkowi wypukłemu, który określa te nierównościami.

Rozwiązywanie liniowych nierówności macierzowych[edytuj]

Największe osiągnięcia optymalizacji wypukłej związane są z wprowadzeniem metod punktu wewnętrznego. Metody te, rozwinięte w szeregu publikacji, stały się przedmiotem zainteresowania w kontekście problemów LMI.