Macierz symetryczna

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa $\mathbf {A} =[a_{ij}]$ stopnia $n,$ która dla $i,j=1,\dots ,n$ spełnia warunek

a_{ij}=a_{ji},

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .

Własności

Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
Dla dowolnej macierzy $\mathbf {A}$ macierz $\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }$ jest symetryczna, bowiem $\left(\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {(A^{T})^{T}} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }.$
Dla macierzy $\mathbf {A}$ macierz $\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ jest symetryczna, bowiem $\left(\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {(A^{T})^{\mathrm {T} }} =\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }.$
Przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli $\mathbf {A}$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n,$ to
$\mathbf {A} ={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right),$