Określoność formy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Niezmienniki
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy
widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Określoność formy – właściwość formy kwadratowej określonej na rzeczywistej przestrzeni liniowej [a]

  • Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku dla wszystkich punktów przestrzeni liniowej, to nazywa się ją określoną.
  • Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku albo zeruje się dla niektórych punktów przestrzeni liniowej, to nazywa się ją półokreśloną.
  • Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją nieokreśloną.

Rodzaje form określonych[edytuj | edytuj kod]

Spośród form określonych i półokreślonych wyróżnia się następujące typy:

jeżeli dla każdego jest

  • – formę nazywa się dodatnio określoną (dodatnia),
  • – formę nazywa się ujemnie określoną (ujemna),
  • – formę nazywa się nieujemnie określoną (nieujemna; dodatnio półokreślona),
  • – formę nazywa się niedodatnio określoną (niedodatnia; ujemnie półokreślona).

Uwaga: Znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy (patrz przykłady poniżej).

Macierze odpowiadające formom[edytuj | edytuj kod]

(1) Formie kwadratowej (i zapisanej w postaci symetrycznej – patrz niżej) zdefiniowanej na przestrzeni n-wymiarowej można przypisać macierz w następujący sposób

gdzie jest dowolnym wektorem o współrzędnych takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny oznacza transpozycję; oznacza macierz symetryczną

Uwaga: Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

Przy takiej zamianie forma nie ulegnie zmianie, a tylko przegrupowane zostają jej wyrazy.

(2) Macierz jest

  • diagonalna, gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych
  • ma wyrazy pozadiagonalne, gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

(3) Df. Macierze formy nazywa się macierzami określonymi / nieokreślonymi itd. jeżeli odpowiadają formom określonym / nieokreślonym itd.

Formy zdegenerowane / niezdegenerowane[edytuj | edytuj kod]

Df. 1 Formę nazywamy zdegenerowaną, jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości

Df. 2 Formę nazywamy niezdegenerowaną, jeżeli istnieje choć jedna wartość dla której forma jest różna od zera.

Tw. 1 Forma jest zdegenerowana / niezdegenerowana, jeżeli wyznacznik macierzy formy jest równy zeru / różny od zera.

Formy dwuliniowe[edytuj | edytuj kod]

Tw. 2 Każdej formie kwadratowej odpowiadają wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

Df. 3 Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.

Tw. 3 Jeżeli forma kwadratowa jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej wzorem

to macierze tych form są równe.

Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.

Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.

Twierdzenie o dodatniej określoności[edytuj | edytuj kod]

Forma kwadratowa o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych zapisana w postaci symetrycznej jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie minory główne jej macierzy, obliczane po przekątnej od lewego rogu, są dodatnie. Np. macierz

będzie dodatnio określona, jeżeli:

Twierdzenie powyższe można zastosować do:

  • sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona
    • np. stosując do Przykładów 1, 2 - poniżej widać natychmiast, że macierz P jest określona dodatnio, a macierz N - nie
  • nałożenia warunków, ograniczających możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, str. 286)

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.

Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona

Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej jest

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma wzór

gdzie Widać stąd, że forma jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy Forma jest więc dodatni określona, cnd.

Uwaga:

Dodatnią określoność łatwo stwierdzić, licząc minory główne (por. Twierdzenie powyżej).

Przykład 2. Macierz rzeczywista, symetryczna, określona niedodatnio

Dowód: Wykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma postać
gdzie Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla gdzie Dlatego forma jest niedodatnio określona, cnd.

Przykład 3. Macierz rzeczywista, symetryczna, nieokreślona

Dowód: Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy odpowiada forma kwadratowa
gdzie
Forma ta jest nieokreślona, gdyż
  • przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:
    1. jeśli to
    2. jeśli to
  • jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich jest

Przykład 4. Macierz jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej – jest dodatnio określona

(1) Macierz jednostkowa jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

(2) Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni zespolonej, to dla dowolnego wektora zespolonego mamy

Ponieważ wektor jest niezerowy, to x albo y musi być niezerowe, więc macierz jest dodatnio określona.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

(1) Wszystkie formy dodatnio / ujemnie określone na tej samej przestrzeni wymiaru są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy kwadratów[b].

(2) Określoność formy nie zależy od wyboru współrzędnych (choć postać formy zależy od wyboru współrzędnych). Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

(3) Wynika stąd, że formy / macierze dodatnio określone są:

  • nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych)
  • a zatem odwracalne
  • ponadto forma / macierz odwrotna do danej też jest dodatnio określona[c]
  • suma form / macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona[d]

(4) Analogiczne twierdzenia są słuszne dla macierzy ujemnie określonych.

(5) Ponadto słuszne są twierdzenia:

  • symetryczna[e] macierz dodatnio określona ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna dla której (symetria i dodatnia określoność – to warunki konieczne i dostateczne)
  • dla nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej iloczyny oraz są dodatnio określone[f]
  • wynika stąd, że dodatnio określona jest forma / macierz jednostkowa[g]
  • wszystkie wartości własne formy / macierzy zerowej są równe zeru, dlatego jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zastosowania

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Bądź ogólniej: przestrzeni liniowej nad ciałem uporządkowanym; w szczególności nie nad ciałem liczb zespolonych. Można rozpatrywać inne uogólnienia, np. formy hermitowskie określone na przestrzeniach liniowych nad liczbami zespolonymi i o wartościach rzeczywistych (czy w ciele uporządkowanym). Macierz takiej formy powinna być wtedy nie symetryczna a hermitowska.
  2. Formy kwadratowe i określone odpowiednio na i nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm (liniowy) który spełniałby
  3. Zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia.
  4. Jeśli oraz są dodatnio określone, oraz dla to również jest dodatnio określona, ponieważ dla
  5. Ogólniej: hermitowska, wtedy transpozycję we wzorze należy zastąpić sprzężeniem hermitowskim.
  6. Dla niezerowej macierzy kolumnowej zachodzi równe po współrzędnych skąd norma macierzowa (norma Frobeniusa indukowana ze standardowego iloczynu skalarnego macierzy) musi być nieujemna, ponieważ nieosobliwość/odwracalność macierzy jest równoważna (gdyż norma mogłaby się zerować, tylko gdy ). Podobnie równe po współrzędnych oznacza z tym samym uzasadnieniem końcowym.
  7. Ze względu na równości

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979, s. 123–138.
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.