Określoność formy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Określoność formy – przyjmowanie przez formę kwadratową tego samego znaku, niezależnie od jej argumentu.

Formę można zdefiniować

gdzie , A jest macierzą symetryczną wymiaru nad .

Macierz A nazywa się macierzą formy B. O określoności formy B decyduje jej macierz A, dlatego zwrotów określoność formy i określoność macierzy używamy zamiennie.

Formę można także zdefiniować ogólniej:

.

gdzie , A jest macierzą hermitowską wymiaru nad .

Badanie określoności takiej formy ma sens, bowiem jest liczbą rzeczywistą:

Skorzystaliśmy tu z tego, że A jest hermitowska tj. oraz z tego, że B(x) jest macierzą 1×1 tj. .

Definicje[edytuj]

Forma B(x) oraz jej macierz A jest:

  • dodatnio określona, jeśli dla
  • ujemnie określona, jeśli dla
  • niedodatnio określona (półujemnie określona), jeśli .
  • nieujemnie określona (półdodatnio określona), jeśli .

Jeśli dla pewnych x1, x2 zachodzi B(x1)>0, B(x2)<0, to formę i jej macierz nazywamy nieokreśloną.

Twierdzenia[edytuj]

  • Wszystkie wartości własne macierzy dodatnio określonej są dodatnie.
  • Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna i jej odwrotność jest również dodatnio określona.
  • Jeśli i są dodatnio określone, to jest dodatnio określona.
  • Dla macierzy dodatnio określonej i symetrycznej istnieje taka odwracalna macierz , że
czyli, istnieje dla niej rozkład Choleskiego.
  • Dla dowolnej nieosobliwej macierzy rzeczywistej iloczyn jest dodatnio określony.
Dowód: Dla niezerowego wektora spełniony jest warunek ponieważ nieosobliwość macierzy implikuje, że

Przykłady[edytuj]

  • Macierz jednostkowa I jest dodatnio określona.
Rzeczywiście, dla niezerowego wektora z o współrzędnych rzeczywistych mamy .
Analogicznie, dla dowolnego niezerowego wektora z o zespolonych współrzędnych mamy .
w obu przypadkach oznacza iloczyn skalarny odpowiednio przestrzeni euklidesowej i unitarnej .
  • Macierz zerowa jest jednocześnie ujemnie półokreślona i dodatnio półokreślona.
  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest dodatnio określona, ponieważ dla każdego wektora z = [a, b, c] mamy
W wyniku otrzymaliśmy sumę kwadratów, która jest nieujemna; wynik ten jest równy 0 tylko wtedy, gdy a = b = c = 0 ( tj. gdy z=0 ).
  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest ujemnie półokreślona, ponieważ dla każdego wektora z= [a,b,c] mamy
W wyniku otrzymaliśmy sumę, która jest niedodatnia; wynik ten jest równy 0 tylko wtedy, gdy z = [-2k,k,-k].
  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest nieokreślona, ponieważ
dla z= [0,1,1] mamy
dla z= [2,1,0] mamy
Ponadto dla z≠0 mamy

Powyższe przykłady macierzy pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają związku z określonością macierzy.