Określoność formy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Określoność formy – właściwość formy kwadratowej określonej na rzeczywistej[a] przestrzeni liniowej, która przyjmuje bądź nie przyjmuje wartości ustalonego znaku; formy przyjmujące wartości dodatnie i ujemne nazywa się nieokreślonymi.

Definicja[edytuj]

 Osobny artykuł: forma kwadratowa.

Formę kwadratową na przestrzeni liniowej nad [a] nazywa się

  • dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli i
  • ujemnie określoną (lub ujemną), gdy

dla wszystkich Niezdegenerowane[b] formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się nieokreślonymi. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach

  • niedodatnio określoną (lub niedodatnią albo dodatnio półokreśloną), jeżeli i
  • nieujemnie określoną (lub nieujemną albo ujemnie półokreśloną), gdy

dla dowolnych

Tak samo określa się dowolną macierz odpowiadającą pewnej formie W szczególności forma kwadratowa może być zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej wzorem wtedy macierze tych form są równe. W ten sposób ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i dowolnych dwuliniowych; w ogólności każda macierz kwadratowa może być macierzą pewnej formy dwuliniowej.

Właściwości[edytuj]

Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru są równoważne[c] sumie kwadratów, a co za tym idzie: są równoważne[c]; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych. Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

Dlatego też formy/macierze dodatnio określone są nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych), a zatem odwracalne; ponadto forma/macierz odwrotna do niej również jest dodatnio określona[d] (to samo dotyczy mutatis mutandis macierzy ujemnie określonych). Suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona[1].

Symetryczna[e] macierz dodatnio określona ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna dla której (wspomniane warunki są tak konieczne, jak i dostateczne)

Dla dowolnej nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej iloczyny oraz są dodatnio określone[f]. W szczególności wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/macierz jednostkowa[g]; ponieważ wszystkie wartości własne formy/macierzy zerowej są równe zeru, to jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Przykłady[edytuj]

Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają związku z określonością macierzy:

  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest dodatnio określona, ponieważ dla dowolnej macierzy kolumnowej jest
co oznacza, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma wzór
gdzie a więc dana jest jako suma kwadratów (która jest nieujemna) i jest niezdegenerowana (zeruje się tylko, gdy ).
  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest określone nieujemnie, ponieważ odpowiadająca jej forma kwadratowa ma postać
gdzie a suma we wzorze jest niedodatnia: przyjmuje zero wyłącznie dla gdzie
  • Macierz rzeczywista symetryczna
jest nieokreślona, co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem dla odpowiadającej jej formy kwadratowej
gdzie mianowicie:
  • jeśli to
  • jeśli to
  • ponadto dla jest czyli forma jest niezdegenerowana.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. a b Bądź ogólniej: przestrzeni liniowej nad ciałem uporządkowanym; w szczególności nie nad ciałem liczb zespolonych. Można rozpatrywać inne uogólnienia, np. formy hermitowskie określone na przestrzeniach liniowych nad liczbami zespolonymi i o wartościach rzeczywistych (czy w ciele uporządkowanym); macierze takiej formy powinna być wtedy nie symetryczna a hermitowska.
  2. Forma kwadratowa jest niezdegenerowana, gdy przyjmuje wartość zerową wyłącznie dla argumentu zerowego: tylko dla
  3. a b Formy kwadratowe i określone odpowiednio na i nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm (liniowy) który spełniałby
  4. Zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia
  5. Ogólniej: hermitowska, wtedy transpozycję we wzorze należy zastąpić sprzężeniem hermitowskim
  6. Dla niezerowej macierzy kolumnowej zachodzi równe po współrzędnych skąd norma macierzowa (norma Frobeniusa indukowana ze standardowego iloczynu skalarnego macierzy) musi być nieujemna, ponieważ nieosobliwość/odwracalność macierzy jest równoważna (gdyż norma mogłaby się zerować, tylko gdy ). Podobnie równe po współrzędnych oznacza z tym samym uzasadnieniem końcowym.
  7. Ze względu na równości
  1. Jeśli oraz są dodatnio określone, oraz dla to również jest dodatnio określona, ponieważ dla