Funkcja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy funkcji w matematyce elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w matematyce wyższej.

Funkcja liniowafunkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia, tj. postaci gdzie są pewnymi stałymi. Nazwa pojęcia jest związana z tym, iż wykres funkcji liniowej jest linią prostą daną równaniem (zob. Wykres).

Funkcje te mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

W dalszej części artykułu rozpatrywane będą funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać inne struktury (np. liczby zespolone); zob. Uogólnienia.

Definicja i własności[edytuj]

 Zobacz też: funkcja.

Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

gdzie i są ustalonymi stałymi rzeczywistymi.

Jeśli jest niezdegenerowana, tzn. to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla i malejąca dla ponadto różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna, a stąd odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). W przeciwnym przypadku jest ona ograniczona, okresowa i parzysta jako funkcja stała, stąd też monotoniczna: nierosnąca ani niemalejąca; nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna, a tym bardziej odwracalna. Funkcja jest nieparzysta, gdy – wynika stąd, że jedyną funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest funkcja stała

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest zawsze ciągła i różniczkowalna (a nawet gładka), przy czym pierwsza pochodna jest stale równa a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres[edytuj]

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ma wykres będący prostą; współczynnik nazywa się współczynnikiem kierunkowym lub kątowym opisuje nachylenie względem osi z kolei współczynnik nazywany wyrazem wolnym, opisuje wskazuje punkt przecięcia z osią

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) współczynnik kierunkowy interpretuje się jako tangens kąta skierowanego między osią a prostą opisywaną przez funkcję liniową

Uogólnienia[edytuj]

Funkcje liniowe są przypadkiem szczególnym funkcji wielomianowych[1] – za dalekie uogólnienie tychże można zatem uważać wielomiany (które w zastosowaniach pokrywają się zwykle z odpowiadającymi im funkcjami wielomianowymi).

W algebrze liniowej definiuje się pojęcie „liniowości” nie w oparciu o własności geometryczne, lecz algebraiczne: zachowuje ono strukturę tzw. przestrzeni liniowych (będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych). Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi rezerwując nazwę „funkcja liniowa” dla funkcji wielomianowych opisywanych w tym artykule; mają one postać proporcjonalności prostej, czyli

Funkcje postaci nazywa się z kolei przekształceniami afinicznymi lub odwzorowaniami afinicznymi (definiowanymi między przestrzeniami afinicznymi, które również są uogólnieniem przestrzeni euklidesowych) – jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Iloraz dwóch funkcji liniowych (afinicznych), tj. postaci to tzw. funkcja homograficzna. Rozpatruje się je w ciałach liczb rzeczywistych i zespolonych, często rozszerzonych o punkt niewłaściwy (zob. rozszerzenie rzutowe liczb rzeczywistych i rozszerzenie rzutowe liczb zespolonych); służą one w związku z tym badaniu własności ogólnych przestrzeni rzutowych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. TadeuszT. Traczyk TadeuszT., Elementy matematyki wyższej, wyd. III, Warszawa: Państwowy Zakład Wydawnictw Lekarskich, 1977, s. 34.

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.