Funkcja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy funkcji w matematyce elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w matematyce wyższej.

Funkcja liniowafunkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia[a], tj. postaci

gdzie są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji jest pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem . Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną tj., gdy ; mają one wówczas postać proporcjonalności prostej

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Definicja[edytuj]

 Zobacz też: funkcja.

Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

gdzie i są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła[1] wymagają dodatkowo, aby była niezdegenerowana, tj.

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik wyrazem wolnym.

Własności[edytuj]

Jeśli , to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla i malejąca dla ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli , to jest nieparzysta.

Jeśli , to jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo , to jest jednocześnie parzysta.

Jeśli , to ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci . Jeśli , to nie ma miejsc zerowych, gdy i ma nieskończenie miejsc zerowych , gdy .

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli , to:

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej[edytuj]

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ma wykres będący prostą, przy czym

  • przecina ona oś w punkcie
  • przecina ona oś w punkcie dla , nie przecina tej osi, gdy .

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

,

gdzie jest kątem skierowanego między wykresem i osią .

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego , co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa[edytuj]

  • Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
.
Wówczas
także jest funkcją liniową.
  • Dla funkcji i zachodzi
  • Ponadto dla funkcji , w której , funkcja jest funkcją odwrotną:

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową można reprezentować jako macierz postaci:

.

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie [b].

Własności geometryczne i uogólnienia[edytuj]

Niezdegenerowana funkcja liniowa postaci jest podobieństwem prostej na siebie, przy tym jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

  • dla jest to tożsamość;
  • dla jest to translacja o przesunięciu ;
  • dla jest to symetria środkowa względem punktu .

Dla jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji) [c].

Jeśli nie jest translacją tj. , to ma ona punkt stały .

Funkcja liniowa niezdegenerowana ma swoje uogólnienie na płaszczyznę i ogólniej - na i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

gdzie , jest nieosobliwą macierzą .

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja postaci

gdzie nie wszystkie są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni .

Przykłady zależności liniowych[edytuj]

gdzie r jest różnicą ciągu, a1 jego pierwszym wyrazem.
gdzie v jest prędkością, x0 położeniem początkowym.
W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość vt jest liniową funkcją czasu t.
gdzie a jest przyspieszeniem, v0 jest prędkością początkową.
  • Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością do nieruchomego źródła fali o częstotliwości fz, to częstotliwość fo odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości :
gdzie v jest prędkością fali w ośrodku.

Uwagi

  1. Niektóre źródła wymagają, aby stopień był dokładnie równy 1.
  2. wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowuję się dla dowolnego ciała.
  3. Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Waliszewski, Encyklopedia szkolna

Bibliografia[edytuj]

  1. Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
  2. Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8. s. 312
  3. Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.