Funkcja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy funkcji w matematyce elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w matematyce wyższej.

Funkcja liniowafunkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia[a], tj. postaci

gdzie są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji jest pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy mają one wówczas postać proporcjonalności prostej

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: funkcja.

Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

gdzie i są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła[1] wymagają dodatkowo, aby była niezdegenerowana, tj.

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik wyrazem wolnym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla i malejąca dla ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli to jest nieparzysta.

Jeśli to jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo to jest jednocześnie parzysta.

Jeśli to ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci Jeśli to nie ma miejsc zerowych, gdy i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli to:

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej[edytuj | edytuj kod]

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ma wykres będący prostą, przy czym

  • przecina ona oś w punkcie
  • przecina ona oś w punkcie dla nie przecina tej osi, gdy

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

gdzie jest kątem skierowanego między wykresem i osią

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa[edytuj | edytuj kod]

  • Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
Wówczas
także jest funkcją liniową.
  • Dla funkcji i zachodzi
  • Ponadto dla funkcji w której funkcja jest funkcją odwrotną:

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową można reprezentować jako macierz postaci:

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie[b].

Własności geometryczne i uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Niezdegenerowana funkcja liniowa postaci jest podobieństwem prostej na siebie, przy tym jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

  • dla jest to tożsamość,
  • dla jest to translacja o przesunięciu
  • dla jest to symetria środkowa względem punktu

Dla jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)[c].

Jeśli nie jest translacją, tj. to ma ona punkt stały

Funkcja liniowa niezdegenerowana ma swoje uogólnienie na płaszczyznę i ogólniej – na i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

gdzie jest nieosobliwą macierzą

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja postaci

gdzie nie wszystkie są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni

Przykłady zależności liniowych[edytuj | edytuj kod]

  • Wartość -tego wyrazu ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru :
gdzie jest różnicą ciągu, jego pierwszym wyrazem.
  • Temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury w skali Celsjusza:
gdzie jest prędkością, położeniem początkowym.
W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość jest liniową funkcją czasu
gdzie jest przyspieszeniem, jest prędkością początkową.
  • Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością do nieruchomego źródła fali o częstotliwości to częstotliwość odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości :
gdzie jest prędkością fali w ośrodku.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Niektóre źródła wymagają, aby stopień był dokładnie równy 1.
  2. Wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowuję się dla dowolnego ciała.
  3. Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Waliszewski, Encyklopedia szkolna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
  • Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8. s. 312
  • Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.