Macierz Toeplitza
Ten artykuł od 2010-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać (wiarygodne) źródła, najlepiej w formie dokładnych przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Macierz Toeplitza - macierz mająca te same wartości na poszczególnych przekątnych, tj. macierz postaci
Przykład[edytuj | edytuj kod]
Rozwiązywanie[edytuj | edytuj kod]
Równanie macierzy w formie jest nazywane układem Toeplitza jeżeli jest macierzą Toeplitza. Jeśli to macierz Toepliza to układ ma tylko stopnie swobody zamiast . Można więc oczekiwać, że rozwiązanie układu Toeplitza jest łatwiejsze.
Układy Toeplitza można rozwiązać algorytmem Levinsona w czasie . Warianty tego algorytmu są niestabilne (np. wykazują stabilność numeryczną dla dobrze uwarunkowanych systemów linearnych). Algorytm może również zostać wykorzystany do znalezienia wyznacznika macierzy Toeplitza w czasie .
Macierz Toeplitza może również być rozłożona w czasie Algorytm Bareissa dla rozkładu LU jest stabilny.
Rozkład LU daje szybki sposób na rozwiązanie układu Toeplitza, jak i obliczenie wskaźnika.
Algorytmy asymptotycznie szybsze niż Bareissa i Levinsona były opisywane, ale ich dokładność nie jest wiarygodna.
Właściwości[edytuj | edytuj kod]
Macierz Toeplitza można zdefiniować jako macierz , gdzie , dla stałych . Zestaw macierzy Toeplitza jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej macierzy utworzonej z ciała , gdzie jest przestrzenią wektorową. Dwie macierze Toeplitza można dodać w czasie i pomnożyć w czasie . Macierze Toeplitza są persymetryczne, natomiast symetryczne macierze Toeplitza są zarówno centrosymetryczne, jak i bisymetryczne.
Macierze Toeplitza są też blisko powiązane z szeregami Fouriera, ponieważ operator mnożenia przez wielomian trygonometryczny, skompresowany do przestrzeni o skończonej liczbie wymiarów, może być reprezentowany właśnie przez taką macierz. Podobnie, można przedstawić skręt liniowy jako mnożenie przez macierz Toeplitza.
Macierze Toeplitza komutują asymptotycznie. To oznacza, że diagonalizują one na tej samej bazie gdy wymiar wiersza i kolumny zmierza do nieskończoności.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Macierz Toeplitza (ang.) w encyklopedii MathWorld