Diagonalizacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja - rozkład macierzy kwadratowej A \in M_k(K) na iloczyn macierzy P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K):

A=P \Delta P^{-1},\!

gdzie \Delta\! jest macierzą diagonalną.

Macierz P jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej \Delta są równe kolejnym wartościom własnym macierzy A, z kolei kolumny macierzy P stanowią kolejne wektory własne macierzy A.

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie[edytuj]

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

A^n = (P \Delta P^{-1})^n = \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} }^{n}
 = P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1},

gdzie:

Własności[edytuj]

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie - tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

Jeśli dla pewnej macierzy  A mamy rozkład diagonalny

A=P \Delta P^{-1} \!

wówczas:

Diagonalizacja Jacobiego[edytuj]

Załóżmy, że (V, \xi) jest przestrzenią ortogonalną oraz (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) jest bazą V\; taką, że dla każdego 1\leqslant k\leqslant n-1 zachodzi g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0 (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła (\beta_1, \ldots, \beta_n) przestrzeni V\;, w której \xi\; ma macierz:

\left[\begin{array}{c c c c c c}
\Delta_1 & 0       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right], gdzie \Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) dla k\in\{1,\ldots, n\}

Zobacz też[edytuj]