Diagonalizacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja to rozkład macierzy polegający na rozbiciu macierzy kwadratowej A \in M_k(K) na iloczyn macierzy P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K):

A=P \Delta P^{-1},\!

gdzie

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej \Delta są równe kolejnym wartościom własnym macierzy A, z kolei kolumny macierzy P stanowią kolejne wektory własne macierzy A.

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

A^n = (P \Delta P^{-1})^n = \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} }^{n}
 = P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1},

gdzie:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Macierze symetryczne i hermitowskie są zawsze diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie - tzn. możemy żądać, by macierz przejścia była unitarna.

Jeśli dla pewnej macierzy  A mamy rozkład diagonalny

A=P \Delta P^{-1} \!

wówczas:

Diagonalizacja Jacobiego[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że (V, \xi) jest przestrzenią ortogonalną oraz (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) jest bazą V\; taką, że dla każdego 1\leqslant k\leqslant n-1 zachodzi g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0 (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła (\beta_1, \ldots, \beta_n) przestrzeni V\;, w której \xi\; ma macierz:

\left[\begin{array}{c c c c c c}
\Delta_1 & 0       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right], gdzie \Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) dla k\in\{1,\ldots, n\}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]