Diagonalizacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Diagonalizacjarozkład macierzy kwadratowej na iloczyn macierzy :

gdzie jest macierzą diagonalną.

Macierz jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej są równe kolejnym wartościom własnym macierzy z kolei kolumny macierzy stanowią kolejne wektory własne macierzy

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

gdzie:

  • gdzie jest macierzą jednostkową stopnia
  • są wartościami własnymi macierzy
  • jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

Jeśli dla pewnej macierzy mamy rozkład diagonalny

wówczas:

Diagonalizacja Jacobiego[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest przestrzenią ortogonalną oraz jest bazą taką, że dla każdego zachodzi (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła przestrzeni w której ma macierz:

gdzie dla

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]