Moment zatrzymania

Przykład momentu zatrzymania: moment osiągnięcia bariery przez ruch Browna

Moment zatrzymania – specjalnego typu zmienna losowa, używana w teorii prawdopodobieństwa, a w szczególności przy badaniu procesów stochastycznych.

Reguła zatrzymania czy też momenty zatrzymania są analizowane i wykorzystywane zarówno w teorii prawdopodobieństwa, jak i statystyce, w szczególności przy próbkowaniu ciągów losowych czy w analizie sekwencyjnej. Często momenty zatrzymania są wykorzystywane w technikach dowodzenia twierdzeń metodą „temperowania czasu ciągłego” (szczegóły są w monografii Chunga (1982)).

Definicja

Moment zatrzymania dla ciągu zmiennych losowych $X_{1},X_{2},\dots$ to zmienna losowa $\tau$ o własności takiej, że dla każdego $t,$ to czy zdarzenie $\tau =t$ zrealizowało się, zależy wyłącznie od realizacji zmiennych losowych $X_{1},X_{2},\dots ,X_{t},$ a ponadto $Pr(\tau <\infty )=1,$ tj. $\tau$ jest prawie wszędzie skończona. Jeśli skończoność zmiennej losowej $\tau$ nie jest wymagana, to mówimy o markowskim momencie zatrzymania. Momenty zatrzymania pojawiają się w teorii decyzji, gdzie reguła zatrzymania jest strategią wskazującą moment zatrzymania obserwacji procesu na podstawie aktualnego i przeszłych stanów procesu w celu zrealizowania założonego celu.

Inna definicja, bardziej ogólna, wykorzystuje pojęcie filtracji. Niech $(I,\leqslant )$ będzie uporządkowanym zbiorem indeksów (często $I=[0,\infty )$ lub zwarty podzbiór tego przedziału). $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} )$ jest przestrzenią probabilistyczną z filtracją, to znaczy, jest to przestrzeń probabilistyczna ze zdefiniowaną wstępującą rodziną $\sigma$-algebr zwaną filtracją. Wówczas zmienna losowa $\tau \colon \Omega \to I$ jest momentem Markowa, jeśli $\{\tau \leqslant t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ dla każdego $t\in I.$ Często, aby uniknąć nieporozumień, mówimy o takiej zmiennej losowej $\tau$ iż jest ${\mathcal {F}}_{t}$-momentem markowskim. Jeśli dodatkowo moment Markowa $\tau$ jest skończony z prawdopodobieństwem $1,$ to nazywamy go momentem zatrzymania.

Inaczej mówiąc, aby $\tau$ był momentem markowskim powinno być możliwe stwierdzenie, czy $\{\tau \leqslant t\}$ zrealizowało się na podstawie ${\mathcal {F}}_{t}.$

Przykłady

W celu ilustracji podamy przykłady zmiennych losowych które są momentami zatrzymania i takich, które nie spełniają definicji. Rozważmy hazardzistę grającego w ruletkę z kapitałem początkowym 100 $:

• Grając tylko jeden raz, realizujemy moment zatrzymania $\tau =1.$
• Momentem zatrzymania jest strategia „graj co najwyżej 500 razy lub do wyczerpania pieniędzy”.
• Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)” nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.
• Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału lub do chwili bankructwa” jest momentem zatrzymania ponieważ zatrzymujemy się z prawdopodobieństwem jeden w skończonym czasie.

Lokalizacja

Momenty zatrzymania są często wykorzystywane do uogólniania pewnych własności procesów stochastycznych na przypadek w którym żądana własność jest spełniona jedynie lokalnie. Niech $X$ będzie procesem a $\tau$ momentem zatrzymania. Wówczas oznaczenie $X^{\tau }$ wykorzystujemy do oznaczenia procesu $X$ zatrzymanego w chwili $\tau$

$X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}.$

Wówczas mówimy, że $X$ ma lokalnie własność $P$ jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n},$ rosnących do nieskończoności i dla których procesy $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ mają własność $P.$ Przykłady, dla procesów indeksowanych elementami zbioru $I=[0,\infty ),$ są następujące;

• (Lokalny martyngał) Proces $X$ jest lokalnym martyngałem, jeśli ma własność càdlàg (trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronna granicę) i istnieje rosnący do nieskończoności ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n}$ taki, że $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ jest martyngałem dla każdego $n.$
• (Lokalna całkowalność) Nieujemny i rosnący proces $X$ jest lokalnie całkowalny, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n}$ rosnący do nieskończoności taki, że $\mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty$ dla każdego $n.$

Typy momentów zatrzymania

Momenty zatrzymania o wartościach w $I=[0,\infty )$ dzielmy często na typy ze względu na to, czy jest możliwe przewidywanie ich realizacji.

Moment zatrzymania $\tau$ jest przewidywalny jeśli jest granicą rosnącego ciągu momentów zatrzymania $\tau _{n}$ o własności, iż $\tau _{n}<\tau ,$ gdy $\tau >0.$ O ciągu $\tau _{n}$ mówimy, że anonsuje $\tau ,$ a zatem przewidywalny moment zatrzymania jest w tym sensie prognozowalny. Przykładem przewidywalnego momentu zatrzymania jest moment pierwszego osiągnięcia dla procesu ciągłego i uzgodnionego. Jeśli $\tau$ jest pierwszą chwilą w której ciągły, rzeczywisty proces $X$ jest równy pewnej wartości $a,$ to ciągiem anonsującym jest $\tau _{n},$ gdzie $\tau _{n}$ jest pierwszą chwilą w której $X$ jest w odległości $1/n$ od $a.$

Osiągalny moment zatrzymania to taki, który może być „przykryty” przez przewidywalne momenty zatrzymania. To znaczy, że moment zatrzymania $\tau$ jest osiągalny, jeśli $P(\tau =\tau _{n}$ dla pewnego $n)=1,$ gdzie $\tau _{n}$ są momentami przewidywalnymi.

Moment zatrzymania $\tau$ jest całkowicie nieosiągalny jeśli nie może być nigdy „anonsowany” przez rosnący ciąg momentów zatrzymania. Równoważnie, $P(\tau =\sigma <\infty )=0$ dla każdego przewidywalnego momentu $\sigma .$ Przykładem całkowicie nieosiągalnych momentów zatrzymania są chwile skoków procesu Poissona.

Każdy moment markowski $\tau$ może być w jedyny sposób rozłożony na osiągalny i nieosiągalny moment markowski. To oznacza, że istnieją jedyne osiągalny moment markowski $\sigma$ oraz całkowicie nieosiągalny moment markowski $\upsilon$ takie, że:

$\tau =\sigma ,\;{}$ gdy $\sigma <\infty ,$

$\tau =\upsilon ,\;{}$ gdy $\upsilon <\infty ,$

$\tau =\infty ,\;{}$ gdy $\sigma =\upsilon =\infty .$

Zobacz też

• problem sekretarki

Literatura

• Kai Lai Chung: Lectures from Markov processes to Brownian motion. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. ISBN 0-387-90618-5.brak strony w książce
• Jakubowski, Jacek; Sztencel, R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2000. ISBN 83-904564-4-3.brak strony w książce
• Revuz, Daniel and Yor, Marc: Continuous martingales and Brownian motion. Wyd. Third edition. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293. ISBN 3-540-64325-7.brak strony w książce
• Philip E. Protter: Stochastic integration and differential equations. Wyd. Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag, 2005, seria: Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21. ISBN 3-540-00313-4.brak strony w książce

Literatura uzupełniająca

• Thomas S.T.S. Ferguson Thomas S.T.S., Who solved the secretary problem?, „Stat. Sci.”, 4, 1989, s. 282–296, ISBN 3-540-74010-4, JSTOR: 2245639 .???
• Albert N. Shiryaev: Optimal Stopping Rules. Springer, 2007. ISBN 3-540-74010-4.brak strony w książce