Moment zatrzymania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przykład momentu zatrzymania: moment osiągnięcia bariery przez Ruch Browna

W teorii prawdopodobieństwa, w szczególności przy badaniu procesów stochastycznych, moment zatrzymania to specjalnego typu zmienna losowa.

Reguła zatrzymania czy też momenty zatrzymania są analizowane i wykorzystywane zarówno w teorii prawdopodobieństwa jak i statystyce, w szczególności przy próbkowaniu ciągów losowych czy w analizie sekwencyjnej. Często momenty zatrzymania są wykorzystywane w technikach dowodzenia twierdzeń metodą ,,temperowania czasu ciągłego" (szczegóły są w monografii Chunga(1982)).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Moment zatrzymania dla ciągu zmiennych losowych X1, X2, ... to zmienna losowa \tau o własności takiej, że dla każdego t, to czy zdarzenie \tau = t zrealizowało się zależy wyłącznie od realizacji zmiennych losowych X1, X2, ..., Xt, a ponadto Pr(\tau < ∞) = 1, tj. \tau jest prawie wszędzie skończona. Jeśli skończoność zmiennej losowej \tau nie jest wymagana, to mówimy o markowskim momencie zatrzymania. Momenty zatrzymania pojawiają się w teorii decyzji, gdzie reguła zatrzymania jest strategią wskazującą moment zatrzymania obserwacji procesu na podstawie aktualnego i przeszłych stanów procesu w celu zrealizowania założonego celu.

Inna definicja, bardziej ogólna, wykorzystuje pojęcie filtracji. Niech (I, \leqslant) będzie uporządkowanym zbiorem indeksów (często I=[0,\infty) lub zwarty podzbiór tego przedziału). (\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t), \mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną z filtracją, to znaczy, jest to przestrzeń probabilistyczna ze zdefiniowaną wstępującą rodziną \sigma-algebr zwaną filtracją. Wówczas zmienna losowa \tau : \Omega \to I jest momentem Markowa jeśli \{ \tau \leqslant t \} \in \mathcal{F}_{t} dla każdego t\in I. Często, aby uniknąć nieporozumień, mówimy o takiej zmiennej losowej \tau iż jest \mathcal{F}_t-momentem markowskim. Jeśli dodatkowo moment Markowa \tau jest skończony z prawdopodobieństwem 1, to nazywamy go momentem zatrzymania.

Inaczej mówiąc, aby \tau był momentem markowskim powinno być możliwe stwierdzenie, czy \{ \tau \leqslant t \} zrealizowało się na podstawie \mathcal{F}_t.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W celu ilustracji podamy przykłady zmiennych losowych które są momentami zatrzymania i takich, które nie spełniają definicji. Rozważmy hazardzistę grającego w ruletkę z kapitałem początkowym $100:

  • Grając tylko jeden raz realizujemy moment zatrzymania \tau = 1.
  • Momentem zatrzymania jest strategia ,,graj co najwyżej 500 razy lub do wyczerpania pieniędzy.
  • Strategia gracza "gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)" nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.
  • Strategia gracza "gram do podwojenia kapitału lub do chwili bankructwa" jest momentem zatrzymania ponieważ zatrzymujemy się z prawdopodobieństwem jeden w skończonym czasie.

Lokalizacja[edytuj | edytuj kod]

'Momenty zatrzymania sa często wykorzystywane do uogólniania pewnych własności procesów stochastycznych na przypadek w którym żądana własność jest spelniona jedynie lokalnie. Niech X będzie procesem a \tau momentem zatrzymania. Wówczas oznaczenie X\tau wykorzystujemy do oznaczenia procesu X zatrzymanego w chwili \tau.

 X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}

Wówczas mówimy, że X ma lokanie własność P jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania \taun, rosnących do nieskończoności i dla których processy 1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n} mają własność P. Przykłady, dla procesów indeksowanych elementami zbioru I = [0,∞), są następujące;

  • (Lokalny martyngał) Proces X jest lokalnym martyngałem jeśli ma własność càdlàg (trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronna granicę) i istnieje rosnący do nieskończoności ciąg momentów zatrzymania \taun taki, że 1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n} jest martyngałem dla każdego n.
  • (Lokalna całkowalność) Nieujemny i rosnący proces X jest lokalnie całkowalny, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania \taun roznący do nieskończoności taki, że \mathbb{E}(1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n})<\infty dla każdego n.

Typy momentów zatrzymania[edytuj | edytuj kod]

Momenty zatrzymania o wartościach w I = [0,∞) dzielmy często na typy ze względu na to, czy jest możliwe przewidywanie ich realizacji.

Moment zatrzymania \tau jest przewidywalny jeśli jest granicą rosnącego ciągu momentów zatrzymania \taun o własności, iż \taun < \tau gdy \tau > 0. O ciągu \taun mówimy, że anonsuje \tau, a zatem przewidywalny moment zatrzymania jest w tym sensie prognozowalny. Przykładem przewidywalnego momentu zatrzymania jest moment pierwszego osiągnięcia dla procesu ciągłego i uzgodnionego. Jeśli \tau jest pierwszą chwilą w której ciągły, rzeczywisty proces X jest równy pewnej wartości a, to ciągiem anonsującym jest \taun, gdzie \taun jest pierwszą chwilą w której X jest w odległości 1/n od a.

Osiągalny moment zatrzymania to taki, który może być "przykryty" przez przewidywalne momenty zatrzymania. To znaczy, że moment zatrzymania \tau jest osiągalny, jeśli P(\tau=\taun dla pewnego n) = 1, gdzie \taun są momentami przewidywalnymi.

Moment zatrzymania \tau jest całkowicie nieosiągalny jeśli nie może być nigdy "anonsowany" przez rosnący ciąg momentów zatrzymania. Równoważnie, P(\tau = σ < ∞) = 0 dla każdego przewidywalnego momentu σ. Przykładem całkowicie nieosiągalnych momentów zatrzymania są chwile skoków procesu Poissona.

Każdy moment markowski \tau może być w jedyny sposób rozłożony na osiągalny i nieosiągalny moment markowski. To oznacza, że istnieją jedyne osiągalny moment markowski σ oraz całkowicie nieosiągalny moment markowski υ takie, że \tau = σ gdy σ < ∞, \tau = υ gdy υ < ∞, \tau = ∞ gdy σ = υ = ∞.

Tematy pokrewne[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Kai Lai Chung: Lectures from Markov processes to Brownian motion. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. ISBN 0-387-90618-5.
  • Jakubowski, Jacek; Sztencel, R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2000. ISBN 83-904564-4-3.
  • Revuz, Daniel and Yor, Marc: Continuous martingales and Brownian motion. Wyd. Third edition. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293. ISBN 3-540-64325-7.
  • Philip E. Protter: Stochastic integration and differential equations. Wyd. Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag, 2005, seria: Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21. ISBN 3-540-00313-4.

Literatura uzupełniająca[edytuj | edytuj kod]

  • Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282-296, 1989.