Metoda Riddersa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Cztery pierwsze iteracje algorytmu, niebieska pozioma linia oznacza funkcję

Metoda Riddersaiteracyjna metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.

Metoda Riddersa jest to jedna z odmian metody fałszywych przybliżeń (łac. regula falsi). Opiera się ona na aproksymacji równania za pomocą funkcji eksponencjalnej. Algorytm ten gwarantuje, że punkt wyznaczony w kolejnej iteracji, będzie zawierał się w założonym przedziale. Wykorzystanie funkcji eksponenty do aproksymacji powoduje osłabienie niekorzystnego wpływu wypukłości funkcji aproksymowanej. Metoda ta jest prostsza w implementacji niż podobnie działające metody Brenta i Mullera, a jej zbieżność w porównaniu z analogicznymi metodami jest duża. Dokładność wartości rozwiązania metody zwiększa się dwukrotnie po dwóch iteracjach. Konieczność wyznaczenia dwóch wartości w każdej iteracji powoduje, że rząd zbieżności metody wynosi .

Z racji tego, że jest to rodzaj reguly falsi spełnione muszą być następujące założenia: w przedziale istnieje jedno miejsce zerowe (pierwiastek), oraz że funkcja jest ciągła w przedziale.


Przebieg algorytmu
  • Wyznaczamy środek przedziału:
  • Szukamy spełniającego równanie:
  • Otrzymujemy:
  • Stosujemy regule falsi, lecz nie do wartości , i , ale dla: , i znajdując przy ich pomocy nowe .
  • Sprawdzamy wartość jeżeli jest ona wystarczająco bliska 0 to algorytm kończy pracę, w innym wypadku koniec przedziału zostaje zastąpiony przez , następuje ponowne przejście do punktu pierwszego. Iteracje powtarzamy, aż do uzyskania wartości satysfakcjonującej.

Przykładowe rozwiązanie[edytuj]

Pierwsze 4 iteracje na przykładzie funkcji:

Animacja przedstawia cztery pierwsze iteracje algorytmu

Iteracja nr 1

, ,
, ,
, ,
,
, .

Iteracja nr 2

, ,
, ,
, ,
,
, .

Iteracja nr 3

, ,
, ,
, ,
,
, .

Iteracja nr 4

, ,
, ,
, ,
,
, .


Jeżeli uznamy, że wynik 0,0415 jest wystarczającym przybliżeniem wartości 0 to algorytm kończy działanie, w przeciwnym wypadku kontynuujemy iteracje do uzyskania wartości satysfakcjonującej.

Bibliografia[edytuj]