Wypukłość funkcji

Wypukłość i wklęsłość funkcji - własność wykresu funkcji jednej zmiennej, dwóch zmiennych, ogólnie: dowolnej liczby zmiennych.

1. W przypadku funkcji jednej zmiennej $f(x)$, jeżeli wykres funkcji znajduje się

• nad prostą styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła,
• pod prostą styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła.

2. W przypadku funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$, jeśli wykres znajduje się

• nad płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła,
• pod płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła.

3. W przypadku funkcji wielu zmiennych $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$, jeśli wykres znajduje się

• nad hiperpłaszczyzną styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła,
• pod płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła.

Przy tym wyróżnia się wypukłość (wklęsłość) ścisłą, co gwarantuje, iż funkcja ma ekstremum w jednym punkcie.

W przypadku funkcji jednej zmiennej, gdy funkcja w jakimś punkcie przechodzi z wypukłej wklęsłą / lub odwrotnie - z wklęsłej w wypukła, to w punkcie tym istnieje punkt przegięcia.

W przypadku funkcji dwóch zmiennych (większej liczby zmiennych) można mówić o liniach przegięcia (hiperpowierzchniach przegięcia).

Funkcja jednej zmiennej - definicje za pomocą stycznych

Funkcja ściśle wypukła: jej wykres leży nad stycznymi do wszystkich punktów dziedziny funkcji

Wypukłość. Ścisła wypukłość

(1) Def. Funkcja $f(x)$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży ponad wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie $x_{0}$ przedziału $(a,b).$

(2) Def. Funkcja $f(x)$ jest ściśle wypukła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży ponad wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie $x_{0}$ przedziału $(a,b)$ oraz styczne nie mają innych punktów wspólnych z wykresem funkcji.

(3) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna na przedziale otwartym, to można podać definicje wypukłości opierającą się na pojęciu pochodnej.

Tw. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to równanie stycznej do krzywej $y=f(x)$ w punkcie $x_{0}$ ma postać:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Warunek na wypukłość funkcji określa wtedy nierówność

$\forall _{x,x_{0}\in (a,b)}\;f(x)\geqslant f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

(4) Tw. Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a,b),$ to aby była ona wypukła w przedziale $(a,b),$ wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:

$\forall _{x\in (a,b)}\;f''(x)\geqslant 0.$

Funkcja ściśle wklęsła: jej wykres leży pod stycznymi do wszystkich punktów dziedziny funkcji

Wklęsłość. Ścisła wklęsłość

(1) Def. Funkcja $f(x)$ jest wklęsła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie $x_{0}$ przedziału $(a,b).$

(2) Def. Funkcja $f(x)$ jest ściśle wklęsła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie $x_{0}$ przedziału $(a,b)$oraz styczne nie mają innych punktów wspólnych z wykresem funkcji.

(3) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna na przedziale otwartym, to można podać definicję wklęsłości opierające się na pojęciu pochodnej.

Tw. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to równanie stycznej do krzywej $y=f(x)$ w punkcie $x_{0}$ ma postać:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Warunek na wklęsłość funkcji określa wtedy nierówność

$\forall _{x,x_{0}\in (a,b)}\;f(x)\leqslant f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

(4) Tw. Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a,b),$ to aby była ona wklęsła, wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia:

$\forall _{x\in (a,b)}f''(x)\leqslant 0.$

Funkcja z punktem przegięcia - styczna w tym punkcie w części leży pod wykresem, a w części nad nim

Punkt przegięcia

(1) Def. Jeżeli z jednej strony punktu $x_{0}$ funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to $x_{0}$ nazywamy punktem przegięcia krzywej.

(2) Tw. (warunek konieczny) Jeżeli druga pochodna w punkcie $x_{0}$ istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt $x_{0}$ był punktem przegięcia funkcji $f$ jest:

$f''(x_{0})=0.$

Nie jest to jednak warunek wystarczający (por. przykład 2)

(3) Tw. (warunek wystarczający). Jeżeli druga pochodna w punkcie $x_{0}$ istnieje i zeruje się, $f''(x_{0})=0$, oraz następuje zmiana zmiana znaku drugiej pochodnej w punkcie $x_{0}$, to funkcja ma punkt przegięcia w punkcie $x_{0}$.

Przykłady

1. Funkcja rzeczywista $f(x)=x^{3}$ ma drugą pochodną $f''(x)=6x$, która zeruje się w punkcie $x_{0}=0.$ W tym punkcie następuje zmiana znaku drugiej pochodnej, co oznacza, że funkcja $f$ ma tam punktów przegięcia.

2. Funkcja rzeczywista $f(x)=x^{4}$ ma drugą pochodną $f''(x)=12x^{2}$, która zeruje się w punkcie $x_{0}=0.$ W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej - druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie; oznacza to, że funkcja $f$ jest wypukła w całej dziedzinie.

Funkcja jednej zmiennej - definicje za pomocą siecznych

Wypukłość

Funkcję rzeczywistą $f$ określoną na zbiorze wypukłym $C$ nazywamy wypukłą, jeżeli

$\forall _{x_{1},x_{2}\in C}\ \forall _{\alpha ,\beta \in [0,1],\,\alpha +\beta =1}\ f(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\leqslant \alpha f(x_{1})+\beta f(x_{2}).$

Jeśli $C$ jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty $P,Q$ tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie $PQ$.

Funkcja ściśle wypukła

Ścisła wypukłość

Zastępując nierówności w definicji wypukłości przez nierówność ostrą definiujemy funkcje ściśle wypukłe.

Wklęsłość

Funkcję $f\colon C\to \mathbb {R}$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja $f$ jest wklęsła, jeśli funkcja $-f$ jest wypukła.

Funkcja ściśle wklęsła

Ścisła wklęsłość

Zastępując nierówności w definicji wklęsłości przez nierówność ostrą definiujemy funkcje ściśle wklęsłe.

Własności i warunki równoważne wypukłości

Załóżmy, że $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ jest funkcją jednej zmiennej, a $I\subseteq \mathbb {R}$ jest niepustym przedziałem.

(1) Funkcja $f$ jest wypukła, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnie ustalonych $a,b,c\in I$ takich, że $a<b<c$ zachodzi

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant {\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}$.

Taka charakteryzacja funkcji wypukłej przydatna jest do udowodnienia poniższej własności.

Dalej, zakładamy, że $I$ jest niepustym przedziałem otwartym.

(2) Jeśli $f$ jest wypukła w $I$, to $f$ jest ciągła w tym przedziale.

(3) Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

(4) W szczególnym przypadku, gdy dla funkcji wypukłej $f$ użyjemy w definicji $\alpha =\beta ={\frac {1}{2}}$, to dla dowolnych $x,y\in I$ otrzymujemy nierówność

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$,

która jest warunkiem słabszym od wypukłości. Tj. istnieją funkcje spełniające powyższy warunek, ale niewypukłe, np. funkcje rzeczywiste $\mathbb {Q}$-liniowe, ale nie $\mathbb {R}$-liniowe.

(5) Natomiast, jeśli funkcja $f$ jest dodatkowo ciągła i dla wszystkich $x,y\in I$ spełnia warunek

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

to jest ona wypukła.

Odwrotna terminologia

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Liczba ekstremów

Tw. 1 (o liczbie minimów funkcji wypukłych)

1. Funkcja wypukła, ale nie ściśle wypukła, ma więcej niż jedno minimum na zbiorze $C$.
2. Funkcja ściśle wypukła ma tylko jeden punkt minimum na zbiorze $C$.

Tw. 2 (o liczbie maksimów funkcji wklęsłych)

1. Funkcja wklęsła, ale nie ściśle wklęsła, ma więcej niż jedno maksimum na zbiorze $C$.
2. Funkcja ściśle wklęsła ma tylko jeden punkt maksimum na zbiorze $C$.

Zobacz też

• macierz Hessego
• nierówność Jensena

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Convex Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-04-18].
• Convex function (of a real variable) (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-8].