Wypukłość funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wypukłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcję rzeczywistą f określoną na zbiorze wypukłym C nazywamy wypukłą, jeżeli

\forall_{x_1, x_2 \in C}\ \forall_{\alpha,\beta \in [0, 1],\,\alpha+\beta=1}\ f(\alpha x_1+\beta x_2) \leqslant \alpha f(x_1)+\beta f(x_2).

Jeśli C jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty P, Q tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie PQ.

Funkcja wypukła

Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcję f\colon C\to\mathbb R nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja f jest wklęsła, jeśli funkcja -f jest wypukła.

Funkcja wklęsła

Terminologia[edytuj | edytuj kod]

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Funkcja różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja f jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f(x) jest wypukła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu x_0 z przedziału (a, b). W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_{0}) \geqslant f'(x_0)(x-x_{0}).
Funkcja wypukła

Równanie stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie x_0 ma postać: y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na (a,b), to aby była ona wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale (a, b), wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: \forall_{x \in (a,b)}\; f''(x)\geqslant 0

Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f(x) jest wklęsła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu x_0 z przedziału (a, b). W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_0) \leqslant f'(x_0)(x-x_0)
Funkcja wklęsła

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b), to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale (a, b)), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: \forall_{x \in (a,b)} f''(x)\leqslant 0.

Punkt przegięcia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli z jednej strony punktu  x_0 funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to x_0 nazywamy punktem przegięcia krzywej.

Punkt przegięcia funkcji

O ile druga pochodna w punkcie  x_0 istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt x_0 był punktem przegięcia funkcji  f jest:

f''(x_0) = 0 \,

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie  x_0 musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą  f(x) = x^4 . Jej druga pochodna  f''(x) = 12x^2 zeruje się jedynie w punkcie  x_0 = 0 . W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja  f nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja  f jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]