Wypukłość funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej stycznej w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się

  • nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
  • pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.

Definicja[edytuj]

Wypukłość[edytuj]

Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze wypukłym nazywamy wypukłą, jeżeli

.

Jeśli jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie .

Funkcja wypukła

Wklęsłość[edytuj]

Funkcję nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła.

Funkcja wklęsła

Terminologia[edytuj]

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Własności[edytuj]

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Funkcja różniczkowalna[edytuj]

Jeśli funkcja jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość[edytuj]

Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

.
Funkcja wypukła

Równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:

Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na , to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale , wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:

Wklęsłość[edytuj]

Funkcja jest wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

Funkcja wklęsła

Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na , to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: .

Punkt przegięcia[edytuj]

Jeżeli z jednej strony punktu funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to nazywamy punktem przegięcia krzywej.

Punkt przegięcia funkcji

O ile druga pochodna w punkcie istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt był punktem przegięcia funkcji jest:

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą . Jej druga pochodna zeruje się jedynie w punkcie . W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też[edytuj]