Wypukłość funkcji
Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej stycznej w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się
- nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
- pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Wypukłość[edytuj | edytuj kod]
Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze wypukłym nazywamy wypukłą, jeżeli
Jeśli jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie [1].
Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]
Funkcję nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła.
Terminologia[edytuj | edytuj kod]
Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.
Zastępując nierówności w definicji wypukłości (wklęsłości) przez nierówności ostre definiujemy funkcje ściśle wypukłe (ściśle wklęsłe)
Własności[edytuj | edytuj kod]
Można pokazać, że funkcja wypukła – a zatem i wklęsła – na zbiorze otwartym jest ciągła[potrzebny przypis]. Założenie to jest istotne.
Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).
Kryterium wypukłości funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]
Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą określoną na przedziale spełnia warunek
to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Prawdziwa jest również implikacja odwrotna[potrzebny przypis].
Funkcja różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]
Jeśli funkcja jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.
Wypukłość[edytuj | edytuj kod]
Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem
Równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:
Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:
Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]
Funkcja jest wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:
Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia[2]:
Punkt przegięcia[edytuj | edytuj kod]
- Główny artykuł:
Jeżeli z jednej strony punktu funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to nazywamy punktem przegięcia krzywej.
O ile druga pochodna w punkcie istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt był punktem przegięcia funkcji jest:
Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.
- Przykład
Rozważmy funkcję rzeczywistą Jej druga pochodna zeruje się jedynie w punkcie W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ funkcja wypukła, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-19] .
- ↑ funkcja wklęsła, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-19] .