Metoda równań wielomianowych

Metoda równań wielomianowych (ang. polynomial design) – metoda stosowana w teorii sterowania do projektowania układów z regulatorami i korektorami (kompensatorami) wykorzystująca równania wielomianowe.

Wstęp

Synteza układu metodą równań wielomianowych składa się zwykle z dwóch odrębnych faz:

• określenia pożądanej charakterystyki układu,
• dostrojenia układu tak by odznaczał się pożądaną charakterystyką.

Metoda polega na opisaniu układu za pomocą wielomianów. Korzysta się przy tym z transmitancji i określa równanie ujmujące odpowiednie współczynniki tak, by można znaleźć potrzebne wartości. Wykonuje się to celem uzyskania możliwości odpowiedniego lokowania biegunów układu w pożądanej lokalizacji. Innymi słowy chodzi o uzyskanie takiej modyfikacji charakterystyk układu, by charakterystyki te stały się zgodne z charakterystykami pożądanymi. Aby można było zastosować taką metodę, układ musi być w pełni sterowalny i obserwowalny. Jeśli któryś z tych warunków nie jest spełniony, to metoda nie może być zastosowana w sposób bezpośredni.

Zakłada się, że obiekt jest dany i nie podlega zmianom. Aby odpowiednio zmodyfikować charakterystyki układu, należy zaprojektować człon regulatora, który sprawi, że system będzie działał zgodnie z ustaloną specyfikacją. Ponieważ regulator jest projektowany „na żądanie”, charakterystyka regulatora może być dobrana w sposób arbitralny (w granicach fizycznej realizowalności).

Opis układu za pomocą wielomianów

Niech dany będzie obiekt $G(s)$ i regulator $C(s).$ Zarówno regulator, jak i obiekt są właściwe (można je opisać transmitancją właściwą), licznik i mianownik ich transmitancji to wielomiany moniczne. Dany jest rząd $n$ obiektu $G(s)$ i nie można tego rzędu zmienić. Zadanie polega na odpowiednim zaprojektowaniu regulatora $C(s)$ rzędu $m.$ Transmitancje obiektu i regulatora można więc zapisać:

$G(s)={\frac {b(s)}{a(s)}},$

$C(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}.$

Syntetyzowany układ $H(s)$ będzie opisany transmitancją:

$H(s)=C(s)G(s)={\frac {B(s)b(s)}{A(s)a(s)+B(s)b(s)}},$

równanie charakterystyczne przyjmie wówczas postać:

$\alpha _{H}(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s).$

Obiekt jest dany, więc znane są $a(s)$ i $b(s),$ ale $A(s)$ i $B(s)$ opisują część regulatora, którą należy skonfigurować. Aby dobrać wartości w $A(s)$ i $B(s),$ należy określić pożądane charakterystyki układu. Pożądana charakterystyka określona zostanie przez $D(s).$ Teraz, aby skonfigurować regulator tak, by odpowiadał pożądanej charakterystyce, należy rozwiązać równanie diofantyczne:

$D(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s).$

Przykład

Rozważmy przykład dla układu drugiego rzędu. Niech dany będzie układ opisany przez $G(s),$ a celem jest zaprojektowanie układu regulacji nadążnej, którego pożądana charakterystyka dana jest przez $D(s).$ $G(s)$ i $D(s)$ zdefiniowane są następująco:

$G(s)={\frac {1}{s^{2}-1}},$

$D(s)=(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8.$

Rząd rozważanego obiektu to $n=2,$ co znaczy, że aby istniało jednoznaczne rozwiązanie, regulator musi być regulatorem rzędu $m=1.$ Ponadto pożądana charakterystyka ma rząd $n+m=3.$ Regulator przypomina regulator PID i ma postać:

$C(s)={\frac {B_{0}+B_{1}s}{A_{0}+A_{1}s}}.$

Skonstruowanie równania diofantycznego daje następującą zależność:

${\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&-1&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\\6\\1\end{bmatrix}}.$

Dwa dolne wiersze dają:

$A_{1}=1,$

$A_{0}=6,$

a dwa górne wiersze dają:

$B_{0}=14,$

$B_{1}=13.$

Ostatecznie poszukiwany regulator będzie miał następującą postać:

$C(s)={\frac {14+13s}{6+s}}.$

Ograniczenia metody

Stosowanie metody równań wielomianowych może prowadzić do szeregu problemów. W szczególności należy rozważyć przypadek, gdy rząd układu nie jest wystarczający. Jeśli stopień wielomianu $K(s)$ wynosi $n,$ to wówczas stopień całego układu poddawanego syntezie będzie miał stopień $m+n.$ Jeśli stopień regulatora nie jest wystarczająco wysoki, to dowolne przesuwanie wszystkich biegunów układu nie będzie możliwe. W teorii opisującej układy w przestrzeni stanu bieguny układu, które nie mogą być dowolnie lokowane, nazywa się biegunami niesterowywalnymi. Włączenie w układ regulatora, którego rząd jest niewystarczający, może sprawić, że jeden lub więcej biegunów układu stanie się niesterowalne.

Zobacz też

• równanie diofantyczne