Przesuwanie biegunów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

Przesuwanie biegunów (lokowanie biegunów, sterowanie modalne, ang. pole placement, pole assignment lub full state feedback (FSF), modal control) - w teorii sterowania metoda projektowania układów ze sprzeżeniem zwrotnym lokująca bieguny układu zamkniętego w określonych wcześniej miejscach płaszczyzny s (poprzez znajdowanie odpowiedniej macierzy wzmocnień).

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

Lokowanie biegunów jest potrzebne, ponieważ bieguny odpowiadają bezpośrednio wartościom własnym układu (czyli modom ang. modes - ściślej wartościom własnym macierzy układu), które kształtują charakterystyki (odpowiedzi) układu. Aby tę metodę można było zastosować dla danego układu to układ ten musi być sterowalny.

Jeśli dla transmitancji układu zamkniętego zostanie przedstawiona realizacja w postaci równań stanu:

\dot{\underline{x}}=\mathbf{A}\underline{x}+\mathbf{B}\underline{u};
\underline{y} = \mathbf{C}\underline{x}+\mathbf{D}\underline{u}

wówczas biegunami układu są pierwiastki równania charakterystycznego danego równaniem:

\left|s\textbf{I}-\textbf{A}\right|=0.

Lokowanie biegunów z zastosowaniem pełnego sprzeżenia od stanu przeprowadza się poprzez oddziaływanie na wektor wejść \underline{u}. Niech dany będzie sygnał wejściowy proporcjonalny (w sensie macierzowym) do wektora stanu:

\underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x}.

Podstawienie tej zależności do powyższych równań stanu daje:

\dot{\underline{x}}=(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K})\underline{x};
\underline{y} = (\mathbf{C}-\mathbf{D}\mathbf{K})\underline{x}.

Pierwiastki układu lokującego bieguny (z pełnym sprzężeniem od stanu) dane są równaniem charakterystrycznym

\det\left[s\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right].

Porównując wyrażenia w tym równaniu z wyrażeniami pożądanego równania charakterystycznego otrzymujemy wartości macierzy wzmocnienia (macierzy sprzężenia) \textbf{K}, która determinuje wartości własne układu zamkniętego lokując bieguny w miejscach określonych przez pożądane równanie charakterystyczne.

Przykład lokowania biegunów przez pełne sprzężenie od stanu[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie układ sterowania określony przez następujące równania stanu:

\dot{\underline{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\underline{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}\underline{u}

Układ zamknięty bez członu sterującego posiada bieguny w punktach s=-1\, i s=-2\,. Załóżmy, że w odniesieniu do odpowiedzi układu, pożądane jest ulokowanie wartości własnych układu sterowanego w punktach s=-1\, i s=-5\,. Pożądane równanie charakterystyczne ma więc postać s^2+6s+5=0\,.

Postępując zgodnie z powyższą procedurą: \mathbf{K}=\begin{bmatrix} k_1 & k_2\end{bmatrix} a równanie charakterystyczne układu sterowanego przez lokowanie biegunów (ze sprzężeniem od stanu).

\left|s\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\right| =\det\begin{bmatrix}s & -1 \\ 2+k_1 & s+3+k_2 \end{bmatrix}=s^2+(3+k_2)s+(2+k_1)

Określając to równanie charakterystyczne jako równe pożądanemu równaniu charakterystycznemu, otrzymujemy:

\mathbf{K}=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}.

Dlatego przypisanie \underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x} lokuje bieguny układu zamkniętego w pożądanych miejscach, wpływając na odpowiedź tak jak tego oczekiwano.

Formuła Ackermanna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: wzór Ackermanna.

Formuła Ackermanna to wzór pozwalający na wyznaczenie macierzy K\, bez konieczności uprzedniego sprowadzania opisu obiektu regulacji do jakiejś specjalnej postaci jak i bez konieczności wyznaczania równania charakterystycznego tego obiektu.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Powyższe odnosi się to tylko do układu o jednym wejściu (czyli wektor \underline{u}\, sprowadzony jest do wartości skalarnej). Dla układów o wielu wejściach macierz K\, nie jest jednoznaczna. Dlatego dobór najlepszych wartości K\, nie jest trywialny. W takich przypadkach można zastosować regulator liniowo-kwadratowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]