Moment (matematyka)

Moment zwykły $m_{k}$ rzędu $k=0,1,2,...$ zmiennej losowej $X$ to wartość oczekiwana $k$-tej potęgi tej zmiennej:

$m_{k}=\mathbb {E} (X^{k})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}dF_{X}(x)=\left\{{\begin{array}{l}{\sum _{i}{x_{i}^{k}p_{i}}}&{(1)}\\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{x^{k}f(x)dx}}&{(2)}\end{array}}\right.$

gdzie:

• $\mathbb {E} (Y)$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej $Y=X^{k}$,
• $\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}dF_{X}(x)$ – całka Stieltjesa względem dystrybuanty zmiennej $X$,
• $p_{i},i=1,2,\dots$ – prawdopodobieństwa, z jakimi dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_{i},i=1,2,\dots$
• $f(x)$ – funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej $X$.

Wzory (1) i (2) stosuje się odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym oraz ciągłym.

Szczególne przypadki

• $m_{0}=1$ – moment zerowy zwykły to suma prawdopodobieństw zmiennej losowej, która zawsze jest równa 1,

• $m_{1}=\mathbb {E} (X)$ – moment pierwszy zwykły to wartość oczekiwana $\mathbb {E} (X)$ zmiennej losowej $X$,

• $m_{2}$ – moment drugi zwykły pozwala obliczyć wariancję: $Var(X)=m_{2}-m_{1}^{2}$.

Zobacz też

• moment centralny

Bibliografia

• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.