Wartość oczekiwana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę

[1] o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
[2].

Zmienna dyskretna[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną [3]:

[4].

Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa to jej wartość oczekiwana wynosi

Jeżeli jest funkcją mierzalną, to

Jeśli istnieją oraz to:

  • gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
  • (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
  • jeżeli niezależne, to
  • jeżeli prawie wszędzie, to

W mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać:

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja wynosi

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82.
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81.
  3. Wartość oczekiwana, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].
  4. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.