Wartość oczekiwana (wartość średnia , przeciętna , dawniej nadzieja matematyczna ) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły . Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna .
Jeżeli
X
{\displaystyle X}
przestrzeni probabilistycznej
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
X
{\displaystyle X}
E
X
:=
∫
Ω
X
d
P
{\displaystyle \mathbb {E} X:=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P} }
[1]
E
|
X
|
=
∫
Ω
|
X
|
d
P
<
+
∞
{\displaystyle \mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty }
[2] W przypadku, gdy zmienna losowa
X
{\displaystyle X}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
,
{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},}
E
X
{\displaystyle \mathbb {E} X}
E
X
=
∑
i
=
1
n
x
i
p
i
{\displaystyle \mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}
[3] Jeżeli zmienna
X
{\displaystyle X}
przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje
∞
{\displaystyle \infty }
n
{\displaystyle n}
szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Jeśli
X
{\displaystyle X}
funkcji gęstości prawdopodobieństwa
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x),}
E
X
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx.}
Jeżeli
Y
=
φ
(
X
)
{\displaystyle Y=\varphi (X)}
funkcją mierzalną , to
E
Y
=
E
(
φ
(
X
)
)
=
∫
R
φ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx.}
Jeśli istnieją
E
X
{\displaystyle \mathbb {E} X}
E
Y
,
{\displaystyle \mathbb {E} Y,}
E
c
=
c
,
{\displaystyle \mathbb {E} c=c,}
c
{\displaystyle c}
funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
∀
a
,
b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
X
+
b
{\displaystyle \forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b}
liniowości sumy/szeregu/całki),jeżeli
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
niezależne , to
E
(
X
Y
)
=
E
X
E
Y
,
{\displaystyle \mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y,}
jeżeli
X
⩾
0
{\displaystyle X\geqslant 0}
prawie wszędzie , to
E
X
⩾
0
,
{\displaystyle \mathbb {E} X\geqslant 0,}
E
|
X
|
⩾
|
E
X
|
.
{\displaystyle \mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|.}
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej . Wartość oczekiwana obserwabli , której odpowiada operator
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
znormalizowaną funkcją falową
ψ
{\displaystyle \psi }
⟨
A
^
⟩
ψ
=
∫
ψ
∗
(
x
)
A
^
(
x
,
∂
/
∂
x
)
ψ
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx,}
W notacji Diraca wzór ten można zapisać:
⟨
A
^
⟩
ψ
=
⟨
ψ
|
A
^
|
ψ
⟩
.
{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej
A
^
,
{\displaystyle {\hat {A}},}
wariancja
A
^
,
{\displaystyle {\hat {A}},}
(
Δ
A
^
)
2
=
⟨
A
^
2
⟩
−
⟨
A
^
⟩
2
.
{\displaystyle (\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}.}
↑ J. J. Jakubowski J. J. , R. R. Sztencel R. R. , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa , Warszawa 2010, s. 82 .↑ J. J. Jakubowski J. J. , R. R. Sztencel R. R. , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa , Warszawa 2010, s. 81 .↑ J. J. Jakubowski J. J. , R. R. Sztencel R. R. , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa , Warszawa 2010, s. 85 . Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa . Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1 . 
