Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja

Zmienna dyskretna

Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.

Jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_1, x_2, \dots, x_n$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_1, p_2, \dots, p_n$, to wartość oczekiwana $\mathbb EX$ zmiennej losowej $X$ wyraża się wzorem

$\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i$.

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje $\infty$ w miejsce $n\,$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Zmienna ciągła

Jeżeli $X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę

$\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$

o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:

$\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty$.

Właściwości

Jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$, to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx$.

Jeżeli $Y = \varphi(X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx$.

Jeśli istnieją $\mathbb EX$ oraz $\mathbb EY$, to:

• $\mathbb Ec = c$, gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
• $\forall_{a, b}\; \mathbb E(aX + b) = a\mathbb EX + b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
• jeżeli $X, Y$ są niezależne, to $\mathbb E(XY) = \mathbb EX \mathbb EY$,
• jeżeli $X \geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb EX \geqslant 0$,
• $\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|$.

W mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator $\hat{A}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową $\psi$ wynosi $\langle\hat{A}\rangle _{\psi} = \int \psi^* (x) \hat{A} (x, \partial / \partial x ) \psi (x) dx$, gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać: $\langle\hat{A}\rangle _{\psi} = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$.

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej $\hat{A}$, czyli wariancja $\hat{A}$, wynosi $(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$.

Zobacz też

• średnia arytmetyczna
• wariancja
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• warunkowa wartość oczekiwana

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.