Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalna

Jeżeli $X$ jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ o wartościach w $\mathbb {R} ,$ to wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ nazywa się liczbę

$\mathbb {E} X:=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P}$ o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:

$\mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty$.

Zmienna dyskretna

W przypadku, gdy zmienna losowa $X$ ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},$ to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną $\mathbb {E} X$:

$\mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$.

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje $\infty$ w miejsce $n$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Własności

Jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f(x),$ to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx.$

Jeżeli $Y=\varphi (X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx.$

Jeśli istnieją $\mathbb {E} X$ oraz $\mathbb {E} Y,$ to:

• $\mathbb {E} c=c,$ gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
• $\forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
• jeżeli $X,Y$ są niezależne, to $\mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y,$
• jeżeli $X\geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb {E} X\geqslant 0,$
• $\mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|.$

W mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator ${\hat {A}}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową $\psi$ wynosi $\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx,$ gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać:

$\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .$

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej ${\hat {A}},$ czyli wariancja ${\hat {A}},$ wynosi

$(\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}.$

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.