Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalna

Zmienna dyskretna

Niech $X$$X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.

Jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$$X$ przyjmuje wartości $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$, to wartość oczekiwana $\mathbb {E} X$${\mathbb E}X$ zmiennej losowej $X$$X$ wyraża się wzorem

$\mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$${\mathbb E}X=\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}p_{i}$.

Jeżeli zmienna $X$$X$ przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje $\infty$$\infty$ w miejsce $n\,$$n\,$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Zmienna ciągła

Jeżeli $X$$X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$$(\Omega ,{\mathcal F},{\mathbb P})$, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$$X$ definiuje się jako całkę

$\mathbb {E} X=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P}$${\mathbb E}X=\int \limits _{\Omega }Xd{\mathbb P}$

o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:

$\mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty$${\mathbb E}|X|=\int \limits _{\Omega }|X|d{\mathbb P}<+\infty$.

Właściwości

Jeśli $X$$X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$$f(x)$, to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx$${\mathbb E}X=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}~xf(x)dx$.

Jeżeli $Y=\varphi (X)$$Y=\varphi (X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx$${\mathbb E}Y={\mathbb E}\left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{{\mathbb R}}~\varphi (x)f(x)dx$.

Jeśli istnieją $\mathbb {E} X$${\mathbb E}X$ oraz $\mathbb {E} Y$${\mathbb E}Y$, to:

• $\mathbb {E} c=c$${\mathbb E}c=c$, gdzie $c$$c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
• $\forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b$$\forall _{{a,b}}\;{\mathbb E}(aX+b)=a{\mathbb E}X+b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
• jeżeli $X,Y$$X, Y$ są niezależne, to $\mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y$${\mathbb E}(XY)={\mathbb E}X{\mathbb E}Y$,
• jeżeli $X\geqslant 0$$X\geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb {E} X\geqslant 0$${\mathbb E}X\geqslant 0$,
• $\mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|$${\mathbb E}|X|\geqslant |{\mathbb E}X|$.

W mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator ${\hat {A}}$$\hat{A}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową $\psi$$\psi$ wynosi $\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx$$\langle {\hat {A}}\rangle _{{\psi }}=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx$, gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać: $\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle$$\langle {\hat {A}}\rangle _{{\psi }}=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle$.

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej ${\hat {A}}$$\hat{A}$, czyli wariancja ${\hat {A}}$$\hat{A}$, wynosi $(\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}$$(\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}$.

Zobacz też

• średnia arytmetyczna
• wariancja
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• warunkowa wartość oczekiwana

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.