Nierówność Paleya-Zygmunda

Nierówność Paleya-Zygmunda dostarcza oszacowania w terminach wartości oczekiwanej i wariancji na wielkość prawdopodobieństwa, że nieujemna zmienna losowa o skończonej wariancji jest mała. Nierówność ta została udowodniona przez Raymonda Paleya i Antoniego Zygmunda.

Twierdzenie

Niech $Z$ będzie nieujemną zmienną losową o skończonej wariancji i niech $\lambda \in (0,1).$ Wówczas prawdziwa jest nierówność

$\mathbb {P} (Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z)\geqslant (1-\lambda )^{2}{\frac {(\mathbb {E} Z)^{2}}{\mathbb {E} Z^{2}}}.$

Dowód

Korzystając z nierówności Höldera, dostajemy $(\mathbb {E} Z^{2})^{\frac {1}{2}}(\mathbb {P} (Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z))^{\frac {1}{2}}\geqslant \mathbb {E} Z\mathbb {I} _{\{Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z\}}.$

A zatem $(\mathbb {E} Z^{2})^{\frac {1}{2}}(\mathbb {P} (Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z))^{\frac {1}{2}}\geqslant \mathbb {E} Z\mathbb {I} _{\{Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z\}}=\mathbb {E} Z-\mathbb {E} Z\mathbb {I} _{\{Z<\lambda \mathbb {E} Z\}}\geqslant (1-\lambda )\mathbb {E} Z.$

Podnosząc obie strony nierówności do kwadratu, dostajemy tezę.

Bibliografia

• Skrypt do rachunku prawdopodobieństwa