Wariancja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wariancja – klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej , oznaczana jako lub , zdefiniowana jest wzorem:

,

gdzie:

jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
jest wartością oczekiwaną zmiennej .

Innym, często prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

.

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.


Jeżeli ponadto oraz jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

Estymatory[edytuj kod]

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

a dla szeregu rozdzielczego:

Wariancja próby losowej o wartościach , gdzie , jest następująca:

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

jest zgodnym lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną w populacji, wówczas estymator

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancji[edytuj kod]

Dla zmiennych losowych , i dowolnych stałych a, b, c zachodzą następujące własności:

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:


Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa jest dodatnio określona, mamy:


Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:


Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że dla stałej i z liniowości:


w ogólnym przypadku; (gdzie to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:


Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne i są niezależne liniowo, zachodzi:


Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz też[edytuj kod]

Bibliografia[edytuj kod]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 84. ISBN 83-89716-01-1.