Wariancja

Wariancja – klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej $X$$X$, oznaczana jako $\operatorname {Var} [X]$$\operatorname {Var} [X]$ lub $D^{2}(X)$$D^{2}(X)$, zdefiniowana jest wzorem:

$\operatorname {Var} [X]=E[(X-\mu )^{2}]$$\operatorname {Var} [X]=E[(X-\mu )^{2}]$,

gdzie:

$E[\dots ]$$E[\dots ]$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,

$\mu \;$$\mu \;$ jest wartością oczekiwaną zmiennej $X\;$$X\;$.

Innym, często prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

$D^{2}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\;$$D^{2}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\;$.

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto $\mathbb {E} X^{2}\leq \infty$$\mathbb {E} X^{2}\leq \infty$ oraz ${\mathcal {G}}$${\mathcal {G}}$ jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

$Var(X|{\mathcal {G}}):=\mathbb {E} {\Big (}{\big (}X-{\mathcal {E}}(X|{\mathcal {G}}){\big )}^{2}{\Big |}\ {\mathcal {G}}{\Big )}$$Var(X|{\mathcal {G}}):=\mathbb {E} {\Big (}{\big (}X-{\mathcal {E}}(X|{\mathcal {G}}){\big )}^{2}{\Big |}\ {\mathcal {G}}{\Big )}$

Estymatory

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}$$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}$

a dla szeregu rozdzielczego:

$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot (x_{i}-m)^{2}$$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot (x_{i}-m)^{2}$

Wariancja próby losowej o wartościach $x_{i}$$x_{i}$, gdzie $i=1,2,3,...$$i=1,2,3,...$, jest następująca:

$\sigma ^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.$$\sigma ^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.$

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$

jest zgodnym lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.$$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.$

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną $\mu$$\mu$ w populacji, wówczas estymator

$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancji

Dla zmiennych losowych $X$$X$ , $Y$$Y$ i dowolnych stałych a, b, c zachodzą następujące własności:

$1.\ D^{2}(c)=0\;$$1.\ D^{2}(c)=0\;$

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:

$D^{2}(c)=E[(c-Ec)^{2}]=E[0^{2}]=E[0]=0$$D^{2}(c)=E[(c-Ec)^{2}]=E[0^{2}]=E[0]=0$

$2.\ D^{2}(X)\geq 0\;$$2.\ D^{2}(X)\geq 0\;$

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa $(X-EX)^{2}$$(X-EX)^{2}$ jest dodatnio określona, mamy:

$D^{2}(X)=E[(X-EX)^{2}]\geq 0$$D^{2}(X)=E[(X-EX)^{2}]\geq 0$

$3.\ D^{2}(a\cdot X)=a^{2}\cdot D^{2}(X)$$3.\ D^{2}(a\cdot X)=a^{2}\cdot D^{2}(X)$

Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:

$D^{2}(a\cdot X)=E[(aX-E(aX))^{2}]=E[(aX-aEX)^{2}]=E[(a(X-EX))^{2}]=E[a^{2}(X-EX)^{2}]=a^{2}E[(X-EX)^{2}]=a^{2}\cdot D^{2}(X)$$D^{2}(a\cdot X)=E[(aX-E(aX))^{2}]=E[(aX-aEX)^{2}]=E[(a(X-EX))^{2}]=E[a^{2}(X-EX)^{2}]=a^{2}E[(X-EX)^{2}]=a^{2}\cdot D^{2}(X)$

$4.\ D^{2}(X+b)=D^{2}(X)\;$$4.\ D^{2}(X+b)=D^{2}(X)\;$

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że $Ec=c$$Ec=c$ dla $c$$c$ stałej i z liniowości:

$D^{2}(X+b)=E[(X+b-E(X+b))^{2}]=E[(X+b-EX-Eb)^{2}]=E[(X+b-EX-b)^{2}]=E[(X-EX)^{2}]=D^{2}(X)$$D^{2}(X+b)=E[(X+b-E(X+b))^{2}]=E[(X+b-EX-Eb)^{2}]=E[(X+b-EX-b)^{2}]=E[(X-EX)^{2}]=D^{2}(X)$

$5.\ D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)$$5.\ D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)$ w ogólnym przypadku; (gdzie $\operatorname {Cov} (X,Y)$$\operatorname {Cov} (X,Y)$ to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:

$D^{2}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y))^{2}]=E[(X+Y-EX-EY)^{2}]=E[((X-EX)+(Y-EY))^{2}]=$$D^{2}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y))^{2}]=E[(X+Y-EX-EY)^{2}]=E[((X-EX)+(Y-EY))^{2}]=$

$=E[(X-EX)^{2}+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY)^{2}]=...$$=E[(X-EX)^{2}+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY)^{2}]=...$

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:

$...=E[(X-EX)^{2}]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY)^{2}]=D^{2}(X)+D^{2}(Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)$$...=E[(X-EX)^{2}]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY)^{2}]=D^{2}(X)+D^{2}(Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)$

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne $X$$X$ i $Y$$Y$ są niezależne liniowo, zachodzi:

$D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)$$D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)$

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz też

• kowariancja
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• błąd średniokwadratowy

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.
• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 84. ISBN 83-89716-01-1.