Nierówność Höldera

Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni $L^{p}$$L^{p}$ i $L^{q}$$L^{q}$ jeśli $p\neq 1$$p\neq 1$ oraz $p\neq \infty$$p\neq \infty$.

Nierówność Höldera

Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

Jeżeli f ∈ L_p(Ω, μ) oraz g ∈ L_q(Ω, μ), to fg ∈ L₁(Ω, μ) oraz

$\|f\cdot g\|_{L_{1}(\Omega ,\mu )}\leqslant \|f\|_{L_{p}(\Omega ,\mu )}\cdot \|g\|_{L_{q}(\Omega ,\mu )}.$$\|f\cdot g\|_{L_{1}(\Omega ,\mu )}\leqslant \|f\|_{L_{p}(\Omega ,\mu )}\cdot \|g\|_{L_{q}(\Omega ,\mu )}.$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje f i g są liniowo zależne.

Najważniejsze przypadki szczególne

• Gdy p = q = 2 to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza.

• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$${\mathbb {R}}^{n}$ (lub $\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb {C} ^{n}$) nierówność Höldera przyjmuje postać:

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x,y\in \mathbb {C} ^{n}).$$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x,y\in \mathbb {C} ^{n}).$

• Dla elementów x ∈ ℓ_p, y ∈ ℓ_q:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leqslant \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x\in \ell _{p},y\in \ell _{q}).$$\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leqslant \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x\in \ell _{p},y\in \ell _{q}).$

• Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność

$\left|\int _{\Omega }f(x)g(x)\,\mu ({\mbox{d}}x)\right|\leqslant \int _{\Omega }{\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,\mu ({\mbox{d}}x)\leqslant \left(\int _{\Omega }\left|f(x)\right|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/q}\;\;\;(f\in L_{p}(\Omega ),g\in L_{q}(\Omega ))$$\left|\int _{\Omega }f(x)g(x)\,\mu ({\mbox{d}}x)\right|\leqslant \int _{\Omega }{\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,\mu ({\mbox{d}}x)\leqslant \left(\int _{\Omega }\left|f(x)\right|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/q}\;\;\;(f\in L_{p}(\Omega ),g\in L_{q}(\Omega ))$

W szczególności, gdy μ = P jest miarą probabilistyczną (tj. (Ω, P) jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci

$\mathbb {E} |XY|\leqslant \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\;\;(X\in L_{p}(P),Y\in L_{q}(P)).$$\mathbb {E} |XY|\leqslant \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\;\;(X\in L_{p}(P),Y\in L_{q}(P)).$

gdzie symbol E oznacza wartość oczekiwaną.

Uogólnienie

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech $p_{k}\geqslant 1,k=1,\ldots ,n$$p_{k}\geqslant 1,k=1,\ldots ,n$ będą takie, że:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}=1.$$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}=1.$

Załóżmy, że $u_{k}\in L^{p_{k}}(S)$$u_{k}\in L^{p_{k}}(S)$. Wtedy $\prod _{k=1}^{n}u_{k}\in L^{1}(S)$$\prod _{k=1}^{n}u_{k}\in L^{1}(S)$ oraz

$\left\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\right\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}.$$\left\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\right\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}.$

Literatura

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.

Zobacz też

• warunek Höldera