Nierówność Höldera

W analizie harmonicznej nierówność Höldera jest fundamentalną nierównością wiążącą przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni $L^p$ i $L^q$ jeśli $p \neq 1$ oraz $p \neq \infty$.

Nierówność Höldera

Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 .$

Jeżeli f ∈ L_p(Ω, μ) oraz g ∈ L_q(Ω, μ), to fg ∈ L₁(Ω, μ) oraz

$\|f \cdot g\|_{L_1(\Omega,\mu)} \leqslant \|f\|_{L_p(\Omega,\mu)} \cdot \|g\|_{L_q(\Omega,\mu)}.$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy funkcje f i g są liniowo zależne.

Najważniejsze przypadki szczególne

• Gdy p = q = 2 to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza.

• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^n$ (lub $\mathbb{C}^n$) nierówność Höldera przyjmuje postać:

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leqslant \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}\;\;\;( x,y \in \mathbb{C}^n) .$

• Dla elementów x ∈ ℓ_p, y ∈ ℓ_q:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \leqslant \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q}\;\;\;( x \in \ell_p, y\in \ell_q).$

• Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność

$\left|\int_\Omega f(x)g(x)\,\mu(\mbox{d}x)\right|\leqslant \int_\Omega \bigg| f(x)g(x)\bigg| \,\mu(\mbox{d}x)\leqslant\left(\int_\Omega \left|f(x)\right|^p\,\mu(\mbox{d}x) \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,\mu(\mbox{d}x)\right)^{1/q} \;\;\;(f\in L_p(\Omega), g\in L_q(\Omega))$

W szczególności, gdy μ = P jest miarą probabilistyczną (tj. (Ω, P) jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci

$\mathbb{E}|XY| \leqslant \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\;\;\;(X \in L_p(P), Y \in L_q(P)).$

gdzie symbol E oznacza wartość oczekiwaną.

Uogólnienie

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech $p_k\geqslant 1, k=1,\ldots, n$ będą takie, że:

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}=1.$

Załóżmy, że $u_k\in L^{p_k}(S)$. Wtedy $\prod_{k=1}^n u_k \in L^1(S)$ oraz

$\left\|\prod_{k=1}^n u_k\right\|_{\displaystyle L^1(S)}\leqslant \prod_{k=1}^n \|u_k\|_{\displaystyle L^{p_k}(S)}.$

Literatura

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.

Zobacz też

• warunek Höldera