Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp . Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera , została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).
Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp , nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
q
{\displaystyle L^{q}}
p
≠
1
{\displaystyle p\neq 1}
p
≠
∞
{\displaystyle p\neq \infty }
Niech (Ω , μ ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ będą wykładnikami sprzężonymi , tzn.
1
p
+
1
q
=
1.
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}
Jeżeli f ∈ L p Ω , μ ) oraz g ∈ L q Ω , μ ), to fg ∈ L 1 (Ω , μ ) oraz
‖
f
⋅
g
‖
L
1
(
Ω
,
μ
)
⩽
‖
f
‖
L
p
(
Ω
,
μ
)
⋅
‖
g
‖
L
q
(
Ω
,
μ
)
.
{\displaystyle \|f\cdot g\|_{L_{1}(\Omega ,\mu )}\leqslant \|f\|_{L_{p}(\Omega ,\mu )}\cdot \|g\|_{L_{q}(\Omega ,\mu )}.}
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje f i g są liniowo zależne .
Najważniejsze przypadki szczególne [ edytuj | edytuj kod ]
W przestrzeni euklidesowej
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
⩽
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
(
x
,
y
∈
C
n
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x,y\in \mathbb {C} ^{n}).}
Dla elementów x ∈ ℓ p y ∈ ℓ q
∑
n
=
1
∞
|
x
n
⋅
y
n
|
⩽
(
∑
n
=
1
∞
|
x
n
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
n
=
1
∞
|
y
n
|
q
)
1
/
q
(
x
∈
ℓ
p
,
y
∈
ℓ
q
)
.
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leqslant \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x\in \ell _{p},y\in \ell _{q}).}
Niech (Ω , μ ) będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
|
∫
Ω
f
(
x
)
g
(
x
)
μ
(
d
x
)
|
⩽
∫
Ω
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
μ
(
d
x
)
⩽
(
∫
Ω
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
⋅
(
∫
|
g
(
x
)
|
q
μ
(
d
x
)
)
1
/
q
(
f
∈
L
p
(
Ω
)
,
g
∈
L
q
(
Ω
)
)
{\displaystyle \left|\int _{\Omega }f(x)g(x)\,\mu ({\mbox{d}}x)\right|\leqslant \int _{\Omega }{\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,\mu ({\mbox{d}}x)\leqslant \left(\int _{\Omega }\left|f(x)\right|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/q}\;\;\;(f\in L_{p}(\Omega ),g\in L_{q}(\Omega ))}
W szczególności, gdy μ = P jest miarą probabilistyczną (tj. (Ω , P ) jest przestrzenią probabilistyczną ), nierówność tę można zapisać w postaci
E
|
X
Y
|
⩽
(
E
|
X
|
p
)
1
/
p
⋅
(
E
|
Y
|
q
)
1
/
q
,
(
X
∈
L
p
(
P
)
,
Y
∈
L
q
(
P
)
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leqslant \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\;\;(X\in L_{p}(P),Y\in L_{q}(P)).}
gdzie symbol E oznacza wartość oczekiwaną .
Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:
Niech
p
k
⩾
1
,
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle p_{k}\geqslant 1,k=1,\ldots ,n}
∑
k
=
1
n
1
p
k
=
1.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}=1.}
Załóżmy, że
u
k
∈
L
p
k
(
S
)
{\displaystyle u_{k}\in L^{p_{k}}(S)}
∏
k
=
1
n
u
k
∈
L
1
(
S
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}u_{k}\in L^{1}(S)}
‖
∏
k
=
1
n
u
k
‖
L
1
(
S
)
⩽
∏
k
=
1
n
‖
u
k
‖
L
p
k
(
S
)
.
{\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\right\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}.}
