Porządek leksykograficzny

Porządek leksykograficzny – porządek w zbiorze ciągów $X^{*}$ pewnego zbioru $X$ indukowany przez porządek $\preccurlyeq$ w zbiorze $X.$

$X$ może być zbiorem liczb całkowitych, zbiorem symboli pewnego alfabetu, lub jakimkolwiek innym zbiorem, którego elementy potrafimy porównywać.

Definicja

Relację leksykograficzną $\preccurlyeq$ między ciągami $\alpha ,\beta \in X^{*}$ ustala się następująco:

• jeśli istnieje wskaźnik $j$ taki, że $\alpha (j)\neq \beta (j),$ to znajdujemy najmniejszy $i$ o tej własności. Wówczas
  • $\alpha \preccurlyeq \beta$ gdy $\alpha (i)\preccurlyeq \beta (i)$ lub $\beta \preccurlyeq \alpha$ gdy $\beta (i)\preccurlyeq \alpha (i)$ (tzn. relacja między ciągami jest zgodna z relacją między odpowiednimi elementami)
• jeśli taki $j$ nie istnieje, to
  • jeśli oba są skończone i tej samej długości, to $\alpha =\beta$
  • jeśli oba ciągi są nieskończone, to $\alpha =\beta$
  • jeśli są różnej długość np. $\beta$ jest dłuższy od $\alpha$ (w szczególności $\beta$ może być nieskończony), to $\alpha \ \preccurlyeq \ \beta$

Przykłady

• zakładając naturalny porządek na liczbach, ciąg (1, 0, 0, 0) jest leksykograficznie większy (późniejszy) od ciągu (0, 10, 100, 1000) – na pierwszej różniącej się pozycji liczba w pierwszym ciągu (1) jest większa niż w drugim (0).
• zakładając porządek alfabetyczny, słowo „krowa” jest większe od słowa „kot” – na pierwszej różniącej się pozycji „r” jest większe od „o”.

Nazwa porządku leksykograficznego pochodzi od sposobu w jaki słowa są uporządkowane w słowniku, najpierw według pierwszej litery, następnie według drugiej, i tak dalej.

W teorii ekonomii porządek leksykograficzny ma znaczenie głównie jako prosty przykład preferencji, których nie można przedstawić przy pomocy ciągłej funkcji użyteczności.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lexicographic Order, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).