Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa- twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa, mówiące że wszystkie zdarzenia w \sigma-ciele ogonowym rodziny niezależnych \sigma-ciał są pewne lub niemożliwe.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Niech (X_n)_{n=1}^{\infty} będzie ciągiem zdarzeń niezależnych. Niech \mathcal F _n oznacza \sigma-ciało generowane przez zmienną X_n. Niech \mathcal F _{n,\infty} będzie \sigma-ciałem generowanym przez zmienne (X_k)_{k=n}^{\infty}.

\mathcal F _{\infty} = \cap_{n=1}^{\infty} \mathcal F _{n,\infty}

nazywamy \sigma-ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia A \in \mathcal F _{\infty} jest \mathbb{P}(A)=1 albo \mathbb{P}(A)=0.

Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

\sigma-ciało ogonowe jest \sigma-ciałem jako przecięcie \sigma-ciał. \sigma-ciała \mathcal F _{n+1,\infty} i \mathcal G _n = \sigma(\mathcal F _1, \ldots, \mathcal F _n) są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności (\mathcal F _n). A \in \mathcal F _{n+1,\infty}, więc jest niezależne od \mathcal G _n dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od \sigma(\mathcal G _1, \mathcal G _2,\ldots) = \sigma(\mathcal F _1, \mathcal F _2,\ldots) = \mathcal F _{1,\infty}. Ponieważ A \in \mathcal F _{1,\infty} zachodzi:

\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A \cap A) = \mathbb{P}(A) ^2,

zatem \mathbb{P}(A)=1 lub \mathbb{P}(A)=0, bo tylko te liczby spełniają x^2=x.

Przykłady zdarzeń z \sigma-ciała ogonowego[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.