Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w -ciele ogonowym rodziny niezależnych -ciał są pewne lub niemożliwe.

Sformułowanie[edytuj]

Niech będzie ciągiem zdarzeń niezależnych. Niech oznacza -ciało generowane przez zmienną . Niech będzie -ciałem generowanym przez zmienne .

nazywamy -ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia jest albo .

Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.

Dowód[edytuj]

-ciało ogonowe jest -ciałem jako przecięcie -ciał. -ciała i są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności . , więc jest niezależne od dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od . Ponieważ zachodzi:

,

zatem lub , bo tylko te liczby spełniają .

Przykłady zdarzeń z -ciała ogonowego[edytuj]

  • wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych (Lematy Borela-Cantellego)
  • szereg jest zbieżny
  • ciąg jest ograniczony
  • ciąg jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.