Lematy Borela-Cantellego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lematy Borela-Cantellego[1]lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech A1, A2, A3, ... będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej

Pierwszy lemat Borela-Cantellego[edytuj]

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A1, A2, A3, ... jest zbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 0, tj.

Dowód[edytuj]

  • Niech
  • Korzystając z własności miary:
  • Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
  • Niech Z założenia więc szereg jest zbieżny.
  • Zauważmy, że:
  • Korzystając z oraz twierdzenia o trzech ciągach:
  • Kończy to dowód, bo:

Drugi lemat Borela-Cantellego[edytuj]

Jeśli zdarzenia Ainiezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 1, tj.

Dowód[edytuj]

  • Niech
  • Korzystając z własności miary:
  • Zapiszmy w postaci:
  • Niech
  • Korzystając ponownie z własności miary:
  • Zauważmy, że gdzie
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że
  • Zauważmy:
  • Więc z twierdzenia o trzech ciągach:
  • I ostatecznie

Wniosek[edytuj]

  • Jeżeli zdarzenia niezależne to dla zdarzenia zachodzi warunek:

Przykład[edytuj]

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech Ak oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty, k+1 i k+2 rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A1, A2, A3, ..., An, ... nie są niezależne, ale zdarzenia A1, A4, A7, ... A3n+1, ... są. Każde zdarzenie Ak ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. nie Cantelliego lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1]

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.