Przejdź do zawartości

Lemat o π- i λ-układach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Lemat o π- i λ-układachlemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego[1]. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin[2].

Jeśli rodzina podzbiorów zbioru jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru

Dowód

[edytuj | edytuj kod]
  1. Pokażemy, że
    • Ponieważ jest λ-układem:
    • oraz
  2. Następnie wykażemy, że
    • więc z własności λ-układu:
  3. Pozostaje do pokazania:
    • Ustalmy dowolnie
    • Wówczas także (λ-układ):
    • Korzystając z własności π-układu mamy:
    • Ale Wobec tego, również:
    • Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci:
    • Ciąg zbiorów jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) Wobec tego:

Jeśli λ-układ podzbiorów zbioru zawiera π-układ to zawiera czyli σ-ciało generowane przez

Dowód

[edytuj | edytuj kod]
  • Zdefiniujmy: jest λ-układem oraz
  • jest λ-układem
  • Pokażemy, że jest także π-układem:
    • Niech
    • jest λ-układem
    • Ponieważ jest najmniejszym λ-układem zawierającym mamy:
    • tzn.
    • Niech
    • korzystając z otrzymujemy
    • jest λ-układem
    • tzn.
  • jest więc π-układem
  • Korzystając z uwagi wnioskujemy, że jest σ-ciałem podzbiorów zbioru zawierającym π-układ
  • Wobec tego

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Un théorème générale sur les families d’ensemble, Fundamenta Mathematicae 12 (1928), s. 206–210.
  2. Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]