Problem kolekcjonera kuponów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Problem kolekcjonera kuponów opisuje klasę konkursów, w którym gracz otrzymuje wygraną po zebraniu wszystkich kuponów z określonej puli. Problem polega na przewidzeniu jak długo należy zbierać kupony, aby otrzymać wygraną. Problem ten jest interesujący z matematycznego punktu widzenia, jak i ma wiele zastosowań w informatyce.

Analiza problemu[edytuj | edytuj kod]

Oto doprecyzowanie podstawowego wariantu problemu kolekcjonera kuponów:

  1. mamy urn,
  2. do urn tych wrzucamy kolejno kule,
  3. wybór każdej urny jest równo prawdopodobny oraz kolejne wybory są wykonywane niezależnie.

Interesuje nas liczba rzutów po której w każdej urnie znajdzie się co najmniej jedna kula. Liczba rzutów jest zmienną losową.

Problem ten można stosunkowo łatwo zanalizować, rozbijając proces wypełniania urn na etapy. Załóżmy, że w pewnej chwili wypełnionych jest urn i niech oznacza liczbę rzutów potrzebnych do zapełnienia urn (czyli do dorzucenia jednej kuli do pustych urn). Wtedy

  1. jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem
  2. zmienne niezależne.

Wartość oczekiwana[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z tego, że wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie geometrycznym z parametrem wynosi oraz z tego, że wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych jest równa sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych otrzymujemy

Suma nazywana jest -tą liczbą harmoniczną i oznaczana symbolem

Ponadto

gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego.

W konsekwencji

Wariancja[edytuj | edytuj kod]

Wariancję zmiennej losowej można wyznaczyć w podobny sposób jak wyznacza się wartość oczekiwaną. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym z parametrem ma wariancję równą oraz z wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, skąd wynika że

Ponadto

zatem asymptotycznie zmienna jest mocno skoncentrowana.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • D.E. Knuth, R.L. Graham, O. Patashnik: Matematyka Konkretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.
  • William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • M. Mitzenmacher, E. Upfal: Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press, 2005.