Równanie transportu – równanie różniczkowe cząstkowe postaci (1):
![{\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2686c802db4d56dede17bd97c1eb3533c1f7399)
gdzie
a funkcja
jest niewiadomą.
Przy założeniu, że dysponujemy gładkim rozwiązaniem
oraz po podzieleniu lewej strony (1) przez
stwierdzamy, że równanie to orzeka, że pewna pochodna kierunkowa funkcji
jest równa zeru.
Niech
będzie wektorem. Ustalmy zatem dowolny punkt
i połóżmy:
![{\displaystyle z(s)=u(x_{0}+sb,t_{0}+s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6422b3a28623d1798698228fc59e8035392bfb)
przy założeniu
i przy oznaczeniu
Wtedy prawdziwym jest związek:
![{\displaystyle {\frac {dz}{ds}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}(x_{0}+sb,t_{0}+s)+u_{t}(x_{0}+sb,t_{0}+s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899042c294d994072fa84f4febc9d30d8e3c4251)
na mocy (1). Funkcja
zmiennej
jest więc stała, co oznacza, że dla każdego punktu
funkcja
przyjmuje te same wartości na całej prostej przechodzącej przez ten punkt oraz równoległej do wektora
Wartości szukanej funkcji w całej dziedzinie są zatem znane, jeżeli znane są wartości w jakichkolwiek punktach na każdej z takich prostych.
W wypadku zagadnienia początkowego (2):
przy
na ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111aa659c541ba05157c5bb6e853b2bed6ffbf84)
każda z omawianych wcześniej prostych postaci
przecina płaszczyznę
dla
w punkcie
Ponieważ funkcja
jest na tych prostych stała oraz
to wnioskujemy:
przy ![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},t\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e86319af2deae69165a510ae64c403b67bab448)
i jest to słabe rozwiązanie zagadnienia (2).
Równanie niejednorodne
Dla zagadnienia (3)
przy
i tych samych oznaczeniach jak wyżej, kładziemy
uzyskując:
![{\displaystyle {\frac {dz}{ds}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}(x_{0}+sb,t_{0}+s)+u_{t}(x_{0}+sb,t_{0}+s)=f(x_{0}+sb,t_{0}+s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd63052caef694df5f00791f4805bed36d7b9ab3)
i dalej:
![{\displaystyle u(x_{0},t_{0})-g(x_{0}-bt_{0})=z(0)-z(-t_{0})=\int \limits _{-t_{0}}^{0}{\frac {dz}{ds}}\,ds=\int \limits _{-t_{0}}^{0}f(x_{0}+sb,t_{0}+s)\,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d88f3972d3335fd1c48b01e8472b1e10c0453f)
zatem
przy
jest rozwiązaniem równania (3).
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.