Równanie transportu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie transporturównanie różniczkowe cząstkowe postaci (1):

gdzie a funkcja jest niewiadomą.

Przy założeniu, że dysponujemy gładkim rozwiązaniem oraz po podzieleniu lewej strony (1) przez stwierdzamy, że równanie to orzeka, że pewna pochodna kierunkowa funkcji jest równa zeru.

Niech będzie wektorem. Ustalmy zatem dowolny punkt i połóżmy:

przy założeniu i przy oznaczeniu

Wtedy prawdziwym jest związek:

na mocy (1). Funkcja zmiennej jest więc stała, co oznacza, że dla każdego punktu funkcja przyjmuje te same wartości na całej prostej przechodzącej przez ten punkt oraz równoległej do wektora Wartości szukanej funkcji w całej dziedzinie są zatem znane, jeżeli znane są wartości w jakichkolwiek punktach na każdej z takich prostych.

W wypadku zagadnienia początkowego (2):

przy na

każda z omawianych wcześniej prostych postaci przecina płaszczyznę dla w punkcie Ponieważ funkcja jest na tych prostych stała oraz to wnioskujemy:

przy

i jest to słabe rozwiązanie zagadnienia (2).

Równanie niejednorodne

Dla zagadnienia (3) przy i tych samych oznaczeniach jak wyżej, kładziemy uzyskując:

i dalej:

zatem przy jest rozwiązaniem równania (3).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.