Funkcja regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Funkcja regularna – wieloznaczny termin matematyczny, używany w analizie i geometrii algebraicznej[1].

Analiza rzeczywista[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji W zerze, tj. dla jest gładka (klasy ), jednak nie jest tam analityczna (klasy ), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja gdzie oraz

Funkcję nazywamy funkcją regularną rzędu na jeżeli:

  • wszystkie pochodne cząstkowe funkcji do rzędu włącznie istnieją w całej dziedzinie
  • pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie

Mówimy też, że funkcja jest klasy i piszemy

Regularność oznacza, że funkcja jest ciągła. Funkcję nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów[2][3]. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie

Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnej[4].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Funkcja gdzie oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej jednak pochodna nie istnieje, więc jest klasy
  2. Funkcja:

    ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej ale pochodna nie jest ciągła; zatem jest klasy
  3. Funkcja jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem czyli jest gładka.

Analiza zespolona[edytuj | edytuj kod]

Funkcja regularna to funkcja analityczna i jednoznaczna na jakimś obszarze[5][6].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Jurkiewicz 1995 ↓, s. 672.
  2. Krych 2010 ↓, s. 231.
  3. Eric W. Weisstein, C^infty Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
  4. Smoluk 2017 ↓, s. 91.
  5. Eric W. Weisstein, Regular Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
  6. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Regular function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-23].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Smooth Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].