Funkcja regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja regularnafunkcja różniczkowalna określoną ilość razy w swojej dziedzinie.

Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja gdzie oraz

Funkcję nazywamy funkcją regularną rzędu na jeżeli:

  • wszystkie pochodne cząstkowe funkcji do rzędu włącznie istnieją w całej dziedzinie
  • pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie

Mówimy też, że funkcja jest klasy i piszemy

Regularność oznacza, że funkcja jest ciągła. Funkcję nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów i są ciągłe. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Funkcja gdzie oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej jednak pochodna nie istnieje, więc jest klasy
  2. Funkcja:

    ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej ale pochodna nie jest ciągła; zatem jest klasy
  3. Funkcja jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem czyli jest gładka.