Relacja liniowego wyrażania się układu przez układ

Relacja liniowego wyrażania się układu $(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}$ przez układ $(w_{\iota })_{\iota =1}^{q}$ – pojęcie algebry liniowej, relacja, symbolicznie oznaczana jako $(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q},$ zdefiniowana następująco:

Układ wektorów $(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}$ wyraża się liniowo przez układ $(w_{\iota })_{\iota =1}^{q},$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor układu $(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}$ jest generowany przez kombinację liniową układu wektorów $(w_{\iota })_{\iota =1}^{q}$, co można symbolicznie zapisać:

$(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}\Longleftrightarrow \forall _{1\geqslant \iota \geqslant p}\ v_{\iota }\in \mathbb {span} ((w_{\iota })_{\iota =1}^{q})$.

Symbol $\prec$ czytamy jako: „wyraża się liniowo przez”.

Relacja $\prec$ określona w zbiorze wszystkich skończonych układów wektorów przestrzeni wektorowej $\mathbb {V}$, jest relacją zwrotną i tranzytywna.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

$(v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}\Longleftrightarrow {\mbox{span}}((v_{\iota })_{\iota =1}^{p})<{\mbox{span}}((w_{\iota })_{\iota =1}^{q})$,

gdzie $<$ czytamy jako „jest podprzestrzenią przestrzeni”.

Pojęcia relacji liniowego wyrażania się układu przez układ używa się m.in. do definiowania układów równoważnych.