Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja, która zachodzi dla każdej pary postaci $(x,x)\,$.

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy:

$\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x)$.

Relacja przeciwzwrotna – relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci $(x,x)\,$.

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy:

$\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x)$.

Przykłady

Relacje zwrotne:

• Każda relacja równoważności i każdy częściowy porządek, szerzej: każdy praporządek
• Przecinanie się zbiorów
• Przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych
• liniowa zależność wektorów

Relacje przeciwzwrotne:

• Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych
• Ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów
• Relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: przecinanie się i w szczególności prostopadłość
• Rozłączność zbiorów
• Liniowa niezależność wektorów
• Bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem
• Pasożytnictwo – organizm nie może być pasożytem siebie
• Konkurencja ekologiczna i ekologiczna
• Bycie jądrami lustrzanymi
• Komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA)

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

• Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1\,$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)\$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=7*3$) oraz $2\ \varrho \ 2\$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$ ).

Zobacz też

• relacja symetryczna
• relacja antysymetryczna
• relacja przeciwsymetryczna
• częściowy porządek

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155.