Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja, która zachodzi dla każdej pary postaci $(x,x)\,$$(x,x)\,$.

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$$\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy:

$\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x)$$\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x)$.

Relacja przeciwzwrotna – relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci $(x,x)\,$$(x,x)\,$.

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$$\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy:

$\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x)$$\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x)$.

Przykłady

• Każda relacja równoważności jest zwrotna.
• Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych jest przeciwzwrotna.
• Biorąc relację $\varrho$$\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m\,$$n\ \varrho \ m\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1\,$$n+m+1\,$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$$\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)\$$\lnot (10\ \varrho \ 10)\$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=7*3$$10+10+1=21=7*3$) oraz $2\ \varrho \ 2\$$2\ \varrho \ 2\$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$$2+2+1=5$ ).

Zobacz też

• relacja symetryczna
• relacja antysymetryczna
• relacja przeciwsymetryczna
• częściowy porządek

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155.