Rozszerzenie Katětova

Rozszerzenie Katětova – dla danej przestrzeni Hausdorffa $X,$ przestrzeń H-domknięta $\tau X$ o tej własności, że $X$ jest homeomorficzne z jej gęstym podzbiorem. Konstrukcja przedstawiona po raz pierwszy przez Miroslava Katětova w pracy z roku 1940^[1].

Konstrukcja

Niech $(X,\sigma )$ będzie przestrzenią Hausdorffa oraz $T(X)$ będzie rodziną tych ultrafiltrów w $\sigma ,$ które nie są zbieżne do żadnego punktu przestrzeni $X.$ W zbiorze

\tau X=X\cup T(X)

można wprowadzić topologię przyjmując za bazę otoczeń punktu ${\mathcal {F}}\in T(X)$ zbiory postaci $U\cup \{{\mathcal {F}}\},$ gdzie $U\in {\mathcal {F}}$ (za bazę otoczeń punktu $x\in X$ przyjmuje się bazę otoczeń w sensie wyjściowej topologii $X$ ). Przestrzeń $\tau X$ nazywa się rozszerzenie Katětova przestrzeni $X.$

Własności

$X$ jest gęstą podprzestrzenią otwartą $\tau X$ oraz przestrzeń $\tau X\setminus X$ jest dyskretna.
$\tau X$ jest przestrzenią H-domkniętą oraz dla każdego przekształcenia ciągłego $f\colon X\to Y$ o gęstym obrazie, gdzie $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, istnieje takie $Z\subseteq \tau X,$ że $X\subseteq Z$ oraz taka funkcja ciągła $F\colon Z\to Y,$ że $F\upharpoonright X=f$ oraz $F[Z]=Y$ (własność ta wyznacza przestrzeń $\tau X$ z dokładnością do homeomorfizmu).