Przestrzeń dyskretna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń dyskretnaprzestrzeń topologiczna z topologią taką, że punkty zbioru są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje formalne[edytuj]

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór

  • Topologię dyskretną na definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
  • Jednostajność dyskretną na definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej jest otoczeniem. Zbiór wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
  • Przestrzeń metryczną nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka jest metryką dyskretną, tj.
    dla dowolnych .
  • Przestrzeń metryczną nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje takie, że dla dowolnych jest bądź Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze

Własności[edytuj]

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzeń zupełna, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Twierdzenia[edytuj]

  • Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna otwarte są zbiory jednoelementowe
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretnaprzestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
  • Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
  • Przestrzeń jednostajna jest dyskretna przekątna jest otoczeniem.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
  • Przestrzeń dyskretna jest zwarta przestrzeń jest skończona.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona przestrzeń jest skończona.
  • Każda dyskretna przestrzeń metryczna jest ograniczona.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
  • Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) przestrzeń jest przeliczalna.
  • Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
  • Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
  • Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
  • Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna[1].
  • Jeśli jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to jest równo pokryta przez (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
  • Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
  • Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
  • Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
  • Odwzorowanie przestrzeni topologicznej w przestrzeń dyskretną jest ciągłe jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy