Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Definicja

Niech $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem funkcji mierzalnych, prawie skończonych. $f_{n},f\colon A\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$ - miara. $A\in {\mathfrak {M}}$.
Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do funkcji $f\;$ prawie wszędzie (względem miary $\mu \;$ na zbiorze $A\;$), wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\bigvee _{{\mathfrak {M}}\ni B\subset A}$$\left[\mu (A\setminus B)=0\wedge \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),\quad x\in A\right]$

Twierdzenia o zbieżności prawie wszędzie

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).

Zobacz też

• Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
• Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej
• Warunek Cauchy'ego według miary