Zbieżność prawie wszędzie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Teoria miary[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech będzie miarą. Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz

Mówimy, że ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji (względem miary na zbiorze ), jeśli istnieje zbiór mierzalny taki, że

dla

Ciąg funkcji jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej jeżeli

Przypadek wielowymiarowy

Niech będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora jeżeli

gdzie oznacza normę euklidesową w

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
  • Zdanie: „ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]