Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
dodanie A,B należą do F |
dodanie A,B należą do \mathcal{A} |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Zdarzenia losowe niezależne''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B \in \mathcal{ |
'''Zdarzenia losowe niezależne''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B \in \mathcal{A} </math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> spełniające warunek |
||
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>. |
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>. |
Wersja z 12:12, 18 lut 2012
Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
- .
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia , jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia . Co można zapisać jako . Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń () wynika powyższy wzór.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu o wyrazach ze zbioru spełniony jest warunek
- .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.