Prawa De Morgana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawa De Morganatwierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości sformułowane przez angielskiego matematyka Augustusa De Morgana.

Logika[edytuj | edytuj kod]

I prawo De Morgana
Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji

gdzie i oznaczają zdania w sensie logiki.

II prawo De Morgana
Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji

Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

Tabele wartości logicznych[edytuj | edytuj kod]

1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1

Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń

oraz

bez względu na wartościowanie zmiennych i (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

Rachunek kwantyfikatorów[edytuj | edytuj kod]

W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

gdzie jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

  1. dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień
  2. dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień

Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń:

gdzie

Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że jest taką rodziną).

Algebry Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zupełną algebrą Boole’a, to dla

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  • H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.