Prawa De Morgana

Prawa De Morgana – twierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augustusa De Morgana, angielskiego matematyka.

Logika

I prawo De Morgana 

Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji

$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p\lor \lnot q)$$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p\lor \lnot q)$,

gdzie p i q oznaczają zdania w sensie logiki.

II prawo De Morgana 

Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji

$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p\land \lnot q)$$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p\land \lnot q)$;

Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład, korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

$p\lor q\iff \lnot (\lnot p\land \lnot q)$$p\lor q\iff \lnot (\lnot p\land \lnot q)$

Tabele wartości logicznych

$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)$$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)$
$p$$p$	$q$$q$	$p\land q$$p\land q$	$\lnot (p\land q)$$\lnot (p\land q)$	$\lnot p$$\lnot p$	$\lnot q$$\lnot q$	$(\lnot p)\lor (\lnot q)$$(\lnot p)\lor (\lnot q)$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)$$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)$
$p$$p$	$q$$q$	$p\lor q$$p\lor q$	$\lnot (p\lor q)$$\lnot (p\lor q)$	$\lnot p$$\lnot p$	$\lnot q$$\lnot q$	$(\lnot p)\land (\lnot q)$$(\lnot p)\land (\lnot q)$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń

$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)$$\lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)$ oraz

$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)$$\lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)$

bez względu na wartościowanie zmiennych p i q (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

Rachunek kwantyfikatorów

W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

$\lnot {\bigg (}\forall _{x}\ p(x){\bigg )}\iff {\bigg (}\exists _{x}\ \lnot p(x){\bigg )}$$\lnot {\bigg (}\forall _{x}\ p(x){\bigg )}\iff {\bigg (}\exists _{x}\ \lnot p(x){\bigg )}$,

$\lnot {\bigg (}\exists _{x}\ p(x){\bigg )}\iff {\bigg (}\forall _{x}\ \lnot p(x){\bigg )}$$\lnot {\bigg (}\exists _{x}\ p(x){\bigg )}\iff {\bigg (}\forall _{x}\ \lnot p(x){\bigg )}$,

gdzie $p(x)$$p(x)$ jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej $x$$x$.

Teoria mnogości

W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

1. dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień,

   $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$,

2. dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień,

   $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń:

$\left(\bigcup _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcap _{i\in I}~A_{i}^{c}.$$\left(\bigcup _{{i\in I}}~A_{i}\right)^{c}=\bigcap _{{i\in I}}~A_{i}^{c}.$,

$\left(\bigcap _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcup _{i\in I}~A_{i}^{c}.$$\left(\bigcap _{{i\in I}}~A_{i}\right)^{c}=\bigcup _{{i\in I}}~A_{i}^{c}.$,

gdzie $I\subset \mathbb {N}$$I\subset {\mathbb N}$

Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że $I$$I$ jest taką rodziną).

Algebry Boole'a

Jeżeli $(B,\cup ,\cap ,-,0,1)$$(B,\cup ,\cap ,-,0,1)$ jest zupełną algebrą Boole'a, to dla $a_{i}\in B,\,i\in I$$a_{i}\in B,\,i\in I$:

$-\left(\bigcup _{i\in I}~a_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}~-a_{i}$$-\left(\bigcup _{{i\in I}}~a_{i}\right)=\bigcap _{{i\in I}}~-a_{i}$,

$-\left(\bigcap _{i\in I}~a_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}~-a_{i}$$-\left(\bigcap _{{i\in I}}~a_{i}\right)=\bigcup _{{i\in I}}~-a_{i}$.

Bibliografia

1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.