Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym, jeśli każdy jego wyraz można otrzymać z wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez pomnożenie przez zawsze tę samą liczbę, zwaną ilorazem ciągu. Na przykład, ciąg:

$1,3,9,27,81,243,\dots$

jest geometyczny (ilorazem jest 3), natomiast ciąg:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle 1, 3, 6, 18, 54, 108, 224, \dots }

nie jest (3=1*3, lecz 6=3*2). Przyjmuje się, że ciąg geometryczny musi liczyć co najmniej trzy wyrazy.

Ciąg geometryczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem geometrycznym.

Ciąg geometryczny o ilorazie większym od zera jest zawsze ciągiem monotonicznym; w tym wypadku, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz różny od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną (iloraz > 1) lub maleją (iloraz <1) wykładniczo.

Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch skrajnych.

$a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$

Zależność pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego (q):

${\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {a_{3}}{a_{2}}}=const.\implies {\frac {a_{n}}{a_{n}-1}}={\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}=q$

Wzór na dowolny wyraz ciągu:

$a_{n}=a_{n-1}*{q}$

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle a_n=a_1*{q^{n-1}}}

Wzór na sumę n wyrazów ciągu:

$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}$

gdzie:
$S_{n}$ - suma wyrazów ciągu
$a_{1}$ - pierwszy wyraz ciągu
$q$ - iloraz ciągu

Zobacz także

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• ciąg arytmetyczny
• ciąg
• szereg geometryczny