Ciąg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg geometryczny (lub postęp geometryczny) – ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego każdy kolejny wyraz od drugiego począwszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną stałą nazywaną ilorazem. Ciąg geometryczny można traktować jako multiplikatywną wersję (addytywnego) ciągu arytmetycznego.

Niech I = \{1, 2, 3, \dots, n\} lub I = \mathbb N. Ciąg liczbowy (a_n)_{n \in I} nazywa się ciągiem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby n > 1 zachodzi wzór

a_n = qa_{n-1},

gdzie q jest pewną stałą.

Jeśli q jest różne od zera, to powyższy wzór można zapisać w postaci

\frac{a_n}{a_{n-1}} = q,

co tłumaczy nazwę liczby q.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, \ldots) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 3.
  • Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, \ldots) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ

a_n = qa_{n-1},

to prawdziwy jest też wzór

a_n = q^{n-1} a_1.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli a_{i-1}, a_i, a_{i+1} są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (a_n), z których żaden nie jest pierwszym ani ostatnim, to prawdziwy jest wzór

a_i^2 = a_{i-1} a_{i+1}.

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

  • równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
  • równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
  • równy -1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
  • większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
  • mniejszy od -1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
  • większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg jest zbieżny do zera.
  • mniejszy od 0, większy od -1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg jest zbieżny do zera.

Suma wyrazów[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dany jest ciąg geometryczny (a_n) o ilorazie q \neq 1, suma n pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n q^{k-1}a_1 = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}.

Jeśli ciąg (a_n) jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu (a_n) – zob. szereg geometryczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]