Ciąg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg geometryczny (lub postęp geometryczny) – ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego każdy kolejny wyraz od drugiego począwszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu. Ciąg geometryczny można traktować jako multiplikatywną wersję ciągu arytmetycznego.

Formalnie:

Niech lub .
Ciąg liczbowy nazywa się ciągiem geometrycznym, jeśli istnieje stała zwana ilorazem ciągu, dla której zachodzi wzór

,

dla każdego .

Jeśli , to powyższy wzór można zapisać w postaci

,

co tłumaczy nazwę liczby .

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
  • Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
  • Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .

Własności[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ

,

to prawdziwy jest też wzór

.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego , to prawdziwy jest wzór

.

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

  • równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
  • równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
  • równy -1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
  • większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
  • mniejszy od -1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
  • większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg jest zbieżny do zera.
  • mniejszy od 0, większy od -1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg jest zbieżny do zera.

Suma wyrazów[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dany jest ciąg geometryczny o ilorazie , suma pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako

.

Jeśli ciąg jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu – zob. szereg geometryczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]