Ciąg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg geometryczny (lub postęp geometryczny) – ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego każdy kolejny wyraz od drugiego począwszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną stałą nazywaną ilorazem. Ciąg geometryczny można traktować jako multiplikatywną wersję (addytywnego) ciągu arytmetycznego.

Niech lub . Ciąg liczbowy nazywa się ciągiem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby zachodzi wzór

,

gdzie jest pewną stałą.

Jeśli jest różne od zera, to powyższy wzór można zapisać w postaci

,

co tłumaczy nazwę liczby .

Przykłady[edytuj]

  • Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
  • Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .

Własności[edytuj]

Ponieważ

,

to prawdziwy jest też wzór

.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego , z których żaden nie jest pierwszym ani ostatnim, to prawdziwy jest wzór

.

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

  • równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
  • równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
  • równy -1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
  • większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
  • mniejszy od -1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
  • większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg jest zbieżny do zera.
  • mniejszy od 0, większy od -1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg jest zbieżny do zera.

Suma wyrazów[edytuj]

Jeśli dany jest ciąg geometryczny o ilorazie , suma pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako

.

Jeśli ciąg jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu – zob. szereg geometryczny.

Zobacz też[edytuj]