Ciąg arytmetyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykłady[edytuj]

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

.

Równoważnie, jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

.
Przykłady
  • ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
  • ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2 ale 4-3=1),
  • dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

Własności[edytuj]

  • Ciąg arytmetyczny o różnicy ma następujący wzór ogólny:
  • Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
  • Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
  • Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego[edytuj]

Suma początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[1].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

oraz

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

a stąd

i

Pamiętając, że , powyższą równość możemy przekształcić do:

.

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową[edytuj]

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową y = ax + b. Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów x różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty x będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego a.

Dowód:

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej (r = a).

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej y = ax + b dla kolejnych naturalnych x:

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

Korzystając z tej własności można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.