Sprzężenie zespolone

Liczba sprzężona do danej liczby zespolonej $a+bi$ to liczba $a-bi$. Liczbę sprzężoną do liczby $z$ oznaczamy symbolem ${\overline {z}}$ lub (rzadziej) $z^{*}$. Oznaczenie "z gwiazdką" jest bardzo często stosowane w fizyce.

Przykłady

Jeśli:

• $z=3+2i$, to ${\overline {z}}=3-2i$,
• $z=-i$, to ${\overline {z}}=i$,
• $z=-2-3i$, to ${\overline {z}}=-2+3i$,
• $z=4$, to ${\overline {z}}=4$.

Własności

• Liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej $a$ jest ta sama liczba:

${\overline {a}}=a$.

• Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z}}_{1}+{\overline {z}}_{2}$.

• Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z}}_{1}{\overline {z}}_{2}$.

• Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

$|{\overline {z}}|=|z|$.

• Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

$\arg({\overline {z}})=-\arg(z)$

• Suma danej liczby zespolonej, o postaci $z=a+bi$ oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle z + \overline z = 2Re(z)} .

• Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

$z{\overline {z}}=|z|^{2}$, stąd też: $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$.

• Dwukrotna operacja sprzężenia danej liczby daje w wyniku daną liczbę:

${\overline {({\overline {z}})}}=z$.

• Jeżeli $z=bi$, czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

${\overline {z}}=-z\leftrightarrow z=bi,-z=-bi={\overline {z}}$

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy:

$\mathbf {A} =\{a_{ij}\}\rightarrow {\overline {\mathbf {A} }}=\{{\overline {a}}_{ij}\}$

Przykład:

$\mathbf {A} =\left[{\begin{matrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{matrix}}\right]\rightarrow {\overline {\mathbf {A} }}=\left[{\begin{matrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{matrix}}\right]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie połączone z transpozycją.

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a+bi+cj+dk$ jest kwaternion $a-bi-cj-dk$. Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $Q({\sqrt {2}})$ można określić je wzorem $f(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}}$, a także na liczby dualne. Sprężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• Liczby zespolone,
• Moduł liczby zespolonej,
• Argument liczby zespolonej,