Mnożenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
3 · 4 = 12, czyli dwanaście kropek można uporządkować w trzech rzędach po cztery (lub w czterech kolumnach po trzy).

Mnożeniedziałanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (pierwszy czynnik określany jest również jako mnożna, a drugi jako mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Na przykład:

3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12

gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy:

4 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

W ten sposób 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3, co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie przemiennością. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności (zob. dalej).

Mnożenia liczb naturalnych o czynnikach będących liczbami ze zbioru:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (liczby od 0 do 10 czyli do podstawy dziesiętnego systemu liczbowego )

uczy się w pierwszych klasach szkoły podstawowej pod postacią tzw. tabliczki mnożenia. Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero, podobnie dowolna liczba pomnożona przez jeden daje w wyniku tę liczbę (tzn. jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Mnożenie pisemne liczb[edytuj]

Przykład[edytuj]

Algorytm pisemnego mnożenia najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie. Obliczymy iloczyn liczb 105\; i 18\;. Należy zapisać jedną z liczb pod drugą tak, by cyfry oznaczające odpowiednio jedności, dziesiątki, setki itp. znajdowały się w jednej kolumnie (mniej precyzyjnie: wyrównać cyfry obu liczb do prawej):


  \begin{matrix}
        &   & 1 & 0 & 5 \\
   \cdot&   &   & 1 & 8 \\
   \hline
   \end{matrix}

Następnie mnoży się poszczególne cyfry[a] i zapisuje jedna pod drugą na odpowiedniej pozycji: jeżeli przyjąć, że pozycje cyfr numerowane są od prawej począwszy od zera, to cyfra dziesiątek i cyfra jednostek iloczynu dwóch cyfr powinny być zapisywane na pozycji będącej sumą pozycji mnożonych cyfr i o jeden mniejszej (jeżeli cyfra dziesiątek jest zerem, to zwykle się jej nie pisze). W ten sposób (mnożąc kolejno od prawej cyfry drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej liczby):


\begin{matrix}

            &   & 1 & 0 & 5 \\ 
      \cdot &   &   & 1 & 8 \\
  \hline
      &   &   & 4 & 0 & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 5)} \\
    + &   &   & 0 &   & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 0)} \\
    + &   & 8 &   &   & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 1)} \\
    + &   &   & 5 &   & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 5)} \\
    + &   & 0 &   &   & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 0)} \\
    + & 1 &   &   &   & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 1)} \\
  \hline
      & 1 & 8 & 9 & 0

\end{matrix}

Suma tak zapisanych iloczynów cyfr (przyjmując, że puste miejsca oznaczają zera) daje wynik:

105 \cdot 18 = 1890\;

Mnożenie liczb całkowitych przebiega podobnie, z tym iż mnoży się wartości bezwzględne, tzn. liczby bez znaku, i uzupełnia znak iloczynu minusem, jeżeli dokładnie jedna z nich była ujemna.

Jeżeli jeden (lub oba) z czynników jest pewną wielokrotnością liczby 10, tzn. na jej końcu znajduje się pewna liczba zer (np. 10500·180), to zera te można pominąć w czynnikach i dopisać do iloczynu – zamiast


\begin{matrix}
        &   & 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\
   \cdot&   &   &   & 1 & 8 & 0 \\
   \hline
\end{matrix}


oblicza się iloczyn 105 \cdot 18


\begin{matrix}

        &   & 1 & 0 & 5 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 \\
   \cdot&   &   & 1 & 8 & \color{MidnightBlue} 0 &  \\
  \hline     
        & 1 & 8 & 9 & 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0

\end{matrix}

To uproszczenie rachunku opiera się na wykorzystaniu łączności i przemienności mnożenia:

105{\color{MidnightBlue}00} \cdot 18{\color{MidnightBlue}0} = 105\cdot 1{\color{MidnightBlue}00} \cdot 18\cdot 1{\color{MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)\cdot (1{\color{MidnightBlue}00}\cdot 1{\color{MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)\cdot 1{\color{MidnightBlue}000}

Podobnie z ułamkami w zapisie dziesiętnym: jeśli czynniki zawierają przecinek (np. 1,05 · 1,8), należy wykonać mnożenie tak, jakby w ich zapisie nie było przecinka, po czym umieścić przecinek tak, by po jego prawej stronie pozostało tyle cyfr, ile ich było za przecinkami łącznie w obu czynnikach:


\begin{matrix}

      &   & 1,                     & \color{MidnightBlue}0 & \color{MidnightBlue}5 \\
 \cdot&   &                        & 1,                    & \color{MidnightBlue}8
\\
 \hline
      & 1, & \color{MidnightBlue}8 & \color{MidnightBlue}9 & \color{MidnightBlue}0 

\end{matrix}


To uproszczenie także opiera się na przemienności i łączności mnożenia:

1,{\color{MidnightBlue}05}\cdot 1,{\color{MidnightBlue}8} = 105/1{\color{MidnightBlue}00}\cdot 18/1{\color{MidnightBlue}0} = (105\cdot 18)/(1{\color{MidnightBlue}00}\cdot 1{\color{MidnightBlue}0}) = (105\cdot 18)/1{\color{MidnightBlue}000}

Uwaga: Mnożyć sposobem pisemnym można tylko w systemach pozycyjnych.

Algorytm[edytuj]

Sam algorytm mnożenia pisemnego polega na zapisaniu liczby naturalnej w postaci sumy kolejnych potęg dziesiątki. Niech m \geqslant n i

a = a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0,
b = b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0.

Wówczas

\begin{align}
  a \cdot b & = (a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0) \cdot (b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0) = \\
            & = a_m 10^m b_n 10^n + \dots + a_m 10^m b_1 10^1 + a_m 10^m b_0 10^0 + \dots + a_0 10^0 b_1 10^1 + a_0 10^0 b_0 10^0 = \\
            & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + a_m b_1 10^{m+1} + a_{m-1} b_2 10^{m+1} + \dots + a_1 b_0 10^{1 + 0} + a_0 b_1 10^{0 + 1} + a_0 b_0 10^{0 + 0} = \\
            & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + (a_m b_1 + a_{m-1} b_2 + \dots + a_{m-n+1} b_n)10^{m+1} + \dots + (a_1 b_0 + a_0 b_1) 10^1 + a_0 b_0 10^0,
\end{align}

przy czym trzecia równość odpowiada mnożeniu poszczególnych cyfr, a ostatnia – końcowemu sumowaniu.

Definicje[edytuj]

W dobrze znanych zbiorach liczbowych mnożenie definiowane jest osobno w każdym z nich za pomocą działania zdefiniowanego w prostszej strukturze:

można to zdefiniować rekurencyjnie:

  a\cdot n=\begin{cases}
    a & \mbox{ dla }n=1 \\
    a\cdot(n-1)+a & \mbox{ dla }n\geqslant 2
   \end{cases}
W zbiorze ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych wprowadza się relację równoważności: (c_n)\sim (d_n)\; gdy ciąg |c_n-d_n|\; jest zbieżny do zera. Niech a_n, b_n\; będą ciągami Cauchy'ego liczb wymiernych, wówczas ciąg c_n=a_n \cdot b_n\; także jest ciągiem Cauchy'ego liczb wymiernych. Dowodzi się, że niezależnie od wyboru ciągów (a_n^{'})\sim (a_n),(b_n^{'})\sim (b_n)\; zachodzi (a_n^' \cdot b_n^')\sim (a_n \cdot b_n). Klasa abstrakcji reprezentanta (a_n \cdot b_n) jest iloczynem liczb utożsamianych z klasami reprezentantów (a_n), (b_n)\;.
(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\;.

Oznaczenia[edytuj]

Mnożenie oznacza się na ogół symbolem kropki, np. 2 \cdot 2 = 4\;, czasami w miejsce kropki używa się znaku obróconego krzyżyka: 3 \times 4 = 12\;, zaś w informatyce, z racji łatwej dostępności na klawiaturze komputera, przyjęło się używanie asterysku: a = b * c.

Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w zapisie matematycznym często pomija się, np. zamiast a \cdot b\; pisze się ab\;.

Własności[edytuj]

Czynnik 1 Czynnik 2 Iloczyn
parzysty całkowity parzysty
całkowity parzysty parzysty
naturalny naturalny naturalny
całkowity całkowity całkowity
całkowity wymierny wymierny
wymierny niewymierny niewymierny lub zerowy
algebraiczny algebraiczny algebraiczny
algebraiczny przestępny przestępny lub zerowy
rzeczywisty rzeczywisty rzeczywisty
zespolony zespolony zespolony

Iloczyn skończonej liczby czynników[edytuj]

Niech A będzie zbiorem, w którym określono działanie \cdot łączne i mające element neutralny 1 (tzn. struktura (A, \cdot) jest monoidem). Może to być np. zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych) z mnożeniem. Wówczas definiujemy iloczyn \prod_{i=1}^{n} a_i indukcyjnie wzorami

\prod_{i=1}^{0} a_i = 1
\prod_{i=1}^{n+1} a_i = \prod_{i=1}^n a_i \cdot a_{n+1}

i w podobny sposób definiujemy \prod_{i=n}^{m} a_i.

Notację tę można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

  • \prod\limits_{0\leqslant x< 100} f(x) jest iloczynem czynników postaci f(x)\; dla każdego całkowitego x z przedziału  [0,100) ,
  • \prod\limits_{x\in S} f(x) jest iloczynem czynników postaci f(x)\; dla każdego x\in S\; (niekoniecznie całkowitego).

Algebra[edytuj]

Mnożenie liczb zostało uogólnione na struktury algebraiczne nazwane pierścieniami (np. liczby całkowite) i ciałami (liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone).

Rozpatruje się także mnożenie elementów ciała i przestrzeni liniowej nad tym ciałem, tzw. mnożenie przez skalar. Mnożeniem nazywa się często działanie w grupach w zapisie multiplikatywnym.

W tych strukturach mnożenie zwykle jest łączne i rozdzielne względem dodawania. Nie zawsze jest jednak przemienne, np. mnożenie macierzy i iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy nie jest również łączny; mnożenie nie jest łączne także w kwaternionach i oktonionach. Wynik mnożenia, nazywanego iloczynem skalarnym, pochodzi z innego zbioru niż czynniki.

Działanie mnożenia może mieć element neutralny, najogólniejszymi strukturami, w których działanie dwuargumentowe ma element neutralny są monoid (w którym działanie musi być łączne) i quasi-grupa (w którym działanie nie musi być łączne). Zwykle oznacza się go symbolem 1\; (inne rozpowszechnione oznaczenia: e\;, i\;, przy czym litery mogą być tak duże jak i małe) i nazywa jedynką (zob. pierścień z jedynką).

Z istnieniem jedynki związany jest tzw. element odwrotny. Jeżeli iloczyn dwóch elementów jest jedynką, to elementy te nazywa się wzajemnie odwrotnymi. Najogólniejszą strukturą o tej własności jest pętla, czyli quasi-grupa z jedynką. Sama quasi-grupa to przykład struktury, w której można rozważać elementy odwrotne bez jedynki.

Mnożenie liczb metodą mnichów z Shaolin[edytuj]

Przykład mnożenia liczby 2 przez liczbę 3 oraz liczby 123 przez liczbę 25 metodą mnichów z Shaolin

Liczba w metodzie mnichów z Shaolin reprezentowana jest za pomocą zbioru kresek. Każda cyfra zapisywana jest poprzez grupę równoległych do siebie kresek, o tej samej ilości co wartość cyfry(np. cyfrę 5\; reprezentuje pięć równoległych kresek). Grupy kresek oddzielone są od siebie przerwami. Kreski liczby pierwszej są prostopadłe do kresek liczby drugiej. Metoda polega na zliczaniu ilości przecięć pomiędzy kreskami. Zliczanie odbywa się na zasadzie przekątniowej. Przecięcia zliczane są wzdłuż przekątnej, zaczynając od najdalszej przekątnej z lewej strony. Jeżeli suma ilości kresek na danej przekątnej jest większa od 9\;, wtedy należy dodać (x - (x \;mod \;10))/10\; do wyniku poprzedniej przekątnej a cyfrę jedności x \;mod \;10\; wpisać jako wynik dla rozpatrywanej przekątnej, wyjątkiem jest pierwsza przekątna dla, której wpisywany jest cały wynik. Z otrzymanych wartości konstruuje się końcowy wynik, zaczynając odpowiednio od wyniku uzyskanego w najdalszej przekątnej z prawej stron, ów wynik odpowiada za cyfrę jedności, wynik na kolejnej najbardziej z prawej strony przekątnej odpowiada cyfrze dziesiątek, na kolejnej setek itd.

Uwagi

  1. ściśle biorąc mnoży się liczby jednocyfrowe

Zobacz też[edytuj]