Liczby dualne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby dualne – wyrażenia postaci , gdzie oraz ( jest nilpotentem).

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. z następującymi dwoma działaniami:

.

Para jest elementem neutralnym mnożenia oraz .

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[1]. Dzielniki zera mają tutaj postać bowiem

.

Ponieważ i są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

gdzie .

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

.

w szczególności

.

Różniczkowanie[edytuj]

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p0+p1x+p2x2+...+pnxn, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

Przypisy

  1. z tego względu określenie "liczby dualne" jest nieco mylące - w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych

Zobacz też[edytuj]