Liczby dualne

Liczby dualne – wyrażenia postaci $z=a+b\epsilon$, gdzie $a,b \in \mathbb{R}$ oraz $\epsilon^2=0$ ($\epsilon$ jest nilpotentem).

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\otimes(c,d)= (ac,ad+bc)$.

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^2 = (0,0)$.

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać $(0,b),\quad b \neq 0$ bowiem

$(0,b)\otimes(0,b)=(0,0)$.

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b) = (a,0)+(0,b) = a +b\varepsilon$ gdzie $\varepsilon=(0,1)$.

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\varepsilon,\quad c \neq 0$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

$(c+d\varepsilon)^{-1} = \frac{1}{c+d\varepsilon} = \frac{c-d\varepsilon} {(c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)} = \frac{c-d\varepsilon}{c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2} = {c-d\varepsilon \over c^2+0} = \frac{1}{c}-\frac{d}{c^2}\varepsilon$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

$a + b\epsilon \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$.

w szczególności

$\epsilon \leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$.

Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p₀+p₁x+p₂x²+...+p_nxⁿ, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

Zobacz też

• liczby zespolone,
• liczby podwójne,
• aksjomaty i konstrukcje liczb.