Liczby dualne – wyrażenia postaci
z
=
a
+
b
ε
,
{\displaystyle z=a+b\varepsilon ,}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
ε
2
=
0
{\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
nilpotentem ).
Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj.
R
×
R
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
(
a
,
b
)
⊕
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
,
{\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),}
(
a
,
b
)
⊗
(
c
,
d
)
=
(
a
c
,
a
d
+
b
c
)
.
{\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc).}
Para
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
elementem neutralnym mnożenia
⊗
{\displaystyle \otimes }
(
0
,
1
)
2
=
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (0,1)^{2}=(0,0).}
Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera [a]
(
0
,
b
)
,
b
≠
0
,
{\displaystyle (0,b),\quad b\neq 0,}
(
0
,
b
)
⊗
(
0
,
b
)
=
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (0,b)\otimes (0,b)=(0,0).}
Ponieważ
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
(
a
,
b
)
=
(
a
,
0
)
+
(
0
,
b
)
=
a
+
b
ε
{\displaystyle (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon }
ε
=
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle \varepsilon =(0,1).}
Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj.
c
+
d
ε
,
c
≠
0
{\displaystyle c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0}
(
c
+
d
ε
)
−
1
=
1
c
+
d
ε
=
c
−
d
ε
(
c
+
d
ε
)
(
c
−
d
ε
)
=
c
−
d
ε
c
2
+
c
d
ε
−
c
d
ε
−
d
2
ε
2
=
c
−
d
ε
c
2
+
0
=
1
c
−
d
c
2
ε
.
{\displaystyle (c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+0}}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon .}
Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:
a
+
b
ε
↔
(
a
b
0
a
)
.
{\displaystyle a+b\varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}.}
w szczególności
ε
↔
(
0
1
0
0
)
.
{\displaystyle \varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}
Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych
P
(
x
)
=
p
0
+
p
1
x
+
p
2
x
2
+
.
.
.
+
p
n
x
n
,
{\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+...+p_{n}x^{n},}
P
(
a
+
b
ε
)
=
P
(
a
)
+
b
P
′
(
a
)
ε
,
{\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,}
P
′
{\displaystyle P'}
P
.
{\displaystyle P.}
Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:
f
(
a
+
b
ε
)
=
f
(
a
)
+
b
f
′
(
a
)
ε
.
{\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon .}
↑ Z tego względu określenie „liczby dualne” jest nieco mylące – w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.
