Liczby dualne

Liczby dualne – wyrażenia postaci $z=a+b\epsilon$$z=a+b\epsilon$, gdzie $a,b\in \mathbb {R}$$a,b\in \mathbb {R}$ oraz $\epsilon ^{2}=0$$\epsilon^2=0$ ($\epsilon$$\epsilon$ jest nilpotentem).

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$$\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc)$$(a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc)$.

Para $(1,0)$$(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$$\otimes$ oraz $(0,1)^{2}=(0,0)$$(0,1)^{2}=(0,0)$.

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać $(0,b),\quad b\neq 0$$(0,b),\quad b\neq 0$ bowiem

$(0,b)\otimes (0,b)=(0,0)$$(0,b)\otimes (0,b)=(0,0)$.

Ponieważ $(1,0)$$(1,0)$ i $(0,1)$$(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon$$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon$ gdzie $\varepsilon =(0,1)$$\varepsilon =(0,1)$.

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0$$c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

$(c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={c-d\varepsilon \over c^{2}+0}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon$$(c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={c-d\varepsilon \over c^{2}+0}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

$a+b\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$$a+b\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$.

w szczególności

$\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$$\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$.

Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p₀+p₁x+p₂x²+...+p_nxⁿ, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

Zobacz też

• liczby zespolone,
• liczby podwójne,
• aksjomaty i konstrukcje liczb.