Liczby dualne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby dualne – wyrażenia postaci gdzie oraz ( jest nilpotentem).

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. z następującymi dwoma działaniami:

Para jest elementem neutralnym mnożenia oraz

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[1]. Dzielniki zera mają tutaj postać   bowiem

Ponieważ i są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

gdzie

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

w szczególności

Różniczkowanie[edytuj | edytuj kod]

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że gdzie jest pochodną

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Z tego względu określenie „liczby dualne” jest nieco mylące – w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.