Splot (teoria grup)

Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja

Niech $H$ i $K$ będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach $X$ oraz $Y.$ Dla $h\in H,\ y\in Y$ oraz $k\in K$ definiuje się następujące permutacje $h_{\mathrm {y} }$ oraz $k^{\star }$ zbioru $Z=X\times Y{:}$

$h_{\mathrm {y} }\colon {\begin{cases}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (h\cdot \mathrm {x} ,\mathrm {y} ),\\(\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }})\mapsto (\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }}){\text{ dla }}{\hat {\mathrm {y} }}\neq \mathrm {y} \end{cases}}$

oraz

$k^{\star }\colon (\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (\mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} ).$

Ponieważ $\left(h^{-1}\right)_{\mathrm {y} }=\left(h_{\mathrm {y} }\right)^{-1}$ oraz $\left(k^{-1}\right)^{\star }=\left(k^{\star }\right)^{-1},$ to $h_{\mathrm {y} }$ oraz $k^{\star }$ istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje $h\mapsto h_{\mathrm {y} }$ przy ustalonym $\mathrm {y} \in Y$ oraz $k\mapsto k^{\star }$ są monomorfizmami odpowiednio grup $H$ oraz $K$ w grupę $\operatorname {Sym} (Z)$ o obrazach odpowiednio $H_{\mathrm {y} }$ oraz $K^{\star }.$

Splotem lub produktem splotowym grup $H$ oraz $K$ nazywa się grupę permutacji na $Z$ generowaną przez $K^{\star }$ i grupy $H_{\mathrm {y} }$ dla wszystkich $\mathrm {y} \in Y.$ W zapisie symbolicznym

$H\wr K=\langle H_{\mathrm {y} },K^{\star }\colon \mathrm {y} \in Y\rangle .$

Ponieważ $k^{\star }h_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}$ przekształca $(\mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} )$ w element $(h\cdot \mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} )$ i nie porusza $({\hat {\mathrm {x} }},{\hat {\mathrm {y} }}),$ o ile ${\hat {\mathrm {y} }}\neq k\cdot \mathrm {y} ,$ to z definicji jest

$k^{\star }h_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}=h_{k\cdot \mathrm {y} }$ oraz $k^{\star }H_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}=H_{k\cdot \mathrm {y} }.$

(1)

Ponadto jeśli $\mathrm {y} \neq {\hat {\mathrm {y} }},$ to permutacje $h_{\mathrm {y} }$ i $h_{\hat {\mathrm {y} }}$ nie mogą poruszyć tego samego elementu $Z.$ Wynika stąd, że grupy $H_{\mathrm {y} }$ generują swój iloczyn prosty $B$ nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

$B=\bigoplus _{\mathrm {y} \in Y}H_{\mathrm {y} }.$

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem $k^{\star }\in K^{\star }$ permutuje składniki proste $H_{\mathrm {y} }$ dokładnie w ten sam sposób, co $k$ elementy $Y.$ Skoro elementy $K^{\star }$ oraz $B$ nie mogą poruszać tego samego elementu $Z,$ to grupa $K^{\star }\cap B$ musi być trywialna. Ponieważ $B\triangleleft W$ oraz $W=K^{\star }B,$ to $W$ jest iloczynem półprostym $B$ przez $K^{\star },$ w którym automorfizm $B$ wyznaczany przez element $K^{\star }$ zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element $k^{\star }$ z elementem $k,$ czyli przyjmuje $K=K^{\star }.$

Własności

• Jeśli $H$ oraz $K$ działają w sposób przechodni, to również $H\wr K$ działa w ten sposób.
• Niech $L$ będzie grupą permutacji zbioru $U,$ zaś $f\colon (X\times Y)\times U\to X\times (Y\times U)$ będzie bijekcją odwzorowującą ${\Big (}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} ),\mathrm {u} {\Big )}\mapsto {\Big (}\mathrm {x} ,(\mathrm {y} ,\mathrm {u} ){\Big )},$ a $\varphi$ funkcją $g\mapsto f\left(g\cdot f^{-1}\right),$ tzn. dla dowolnego $\mathrm {y} \in Y$ zachodzi $g\cdot \mathrm {y} \mapsto f{\Big (}g\cdot f^{-1}(\mathrm {y} ){\Big )}.$ Wówczas $(\varphi ,f)$ ustanawia podobieństwo $(H\wr K)\wr L$ oraz $H\wr (K\wr L).$ Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Uogólnienia

Niech $N$ oraz $G$ będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego $x\in G$ symbol $N_{x}$ oznacza grupę izomorficzną z $N$ poprzez przekształcenie $a\mapsto a_{x}.$ Niech

$B=\prod _{x\in G}N_{x}$

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla $b\in B$ oraz $g\in G$ niech działanie $g\cdot b$ dane będzie wzorem

$(g\cdot b)_{x}=b_{g^{-1}x}.$

Powyższe działanie $G$ na $B$ zadaje iloczyn półprosty $W=G\ltimes B,$ który nazywa się standardowym zupełnym splotem $N\ {\bar {\wr }}\ B,$ przy czym $B$ nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja na PlanetMath
• Konstrukcja na Springer Online