Iloczyny grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański[edytuj]

 Osobny artykuł: iloczyn kartezjański.

Niech będzie rodziną grup, gdzie jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy zbiór

z działaniem

.

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

  • elementem neutralnym jest , gdzie jest elementem neutralnym grupy dla każdego ,
  • elementem odwrotnym do elementu jest .

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem .

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty[edytuj]

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup określonego równością

.

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Uwagi[edytuj]

Jeżeli jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis .

Jeżeli jednak jest zbiorem przeliczalnym, a nietrywialne dla nieskończenie wielu , to .

Suma prosta[edytuj]

Jeżeli rozważamy grupy z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

.

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych . Jest również łączny w sensie, że jeżeli oraz , to .

Jeżeli , to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych zachodzi ,
  • dla dowolnych istnieją jednoznacznie wyznaczone takie, że ,
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. jest izomorficzna z .

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady[edytuj]

Iloczyn półprosty[edytuj]

Niech będą dane grupy i oraz homomorfizm grupy w grupę automorfizmów grupy .

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup i za pośrednictwem , oznaczanym , nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem

oraz odwrotnością daną przez

,

i elementem neutralnym

gdzie oraz są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny[edytuj]

Niech będzie podgrupą normalną w . Dopełnieniem normalnym podgrupy w nazywamy zbiór spełniający warunki oraz (równoważnie ).

Grupę nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup i , co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dopełnieniem normalnym .

Jeżeli grupa jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup i , to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym za pośrednictwem homomorfizmu określonego jako , czyli sprzężenie przez . Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup oraz , przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Uwagi[edytuj]

  • wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest trywialny.
  • jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy są przemienne oraz jest trywialny.

Przykłady[edytuj]

  • Grupa diedralna rzędu jest iloczynem półprostym wewnętrznym .
  • Grupa izometrii przestrzeni jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]