Iloczyny grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: iloczyn kartezjański.

Niech \{G_i\colon i \in I\} będzie rodziną grup, gdzie I jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy zbiór

\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon g_i \in G_i, i \in I\}

z działaniem

(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots) \overset\underset\mathrm{def}\ = (g_1 h_1, g_2 h_2, \dots, g_n h_n, \dots).

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem \prod_{i \in I} G_i.

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty[edytuj | edytuj kod]

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup G_i określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup \prod_{i \in I} G_i określonego równością

\coprod_{i \in I} G_i \overset\underset\mathrm{def}\ = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon \exists_m\; \forall_{i > m}\; g_i = e_i\}.

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli I = \{1, 2, \dots, n\} jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n.

Jeżeli jednak I = \mathbb N jest zbiorem przeliczalnym, a G_inietrywialne dla nieskończenie wielu i \in I, to \coprod G_i < \prod G_i.

Suma prosta[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozważamy grupy A_i z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

\bigoplus_{i \in I} A_i.

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych G = H \oplus K = K \oplus H. Jest również łączny w sensie, że jeżeli G = H \oplus K oraz K = L \oplus M, to G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M.

Jeżeli G = H \oplus K, to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych h \in H,\; k \in K zachodzi h + k = k + h,
  • dla dowolnych g \in G istnieją jednoznacznie wyznaczone h \in H,\; k \in K takie, że g = h + k,
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. (H \oplus K)/K jest izomorficzna z H.

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn półprosty[edytuj | edytuj kod]

Niech będą dane grupy N i D oraz homomorfizm \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N grupy D w grupę automorfizmów grupy N.

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup N i D za pośrednictwem \varphi, oznaczanym N \rtimes_{\varphi} D, nazywa się grupę składająca się z elementów (n, d),\; n \in N, d \in D wraz z działaniem określonym wzorem

(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)

oraz odwrotnością daną przez

(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right),

i elementem neutralnym

(e, 1)

gdzie e \in N oraz 1 \in D są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Niech N będzie podgrupą normalną w G. Dopełnieniem normalnym D podgrupy N w G nazywamy zbiór spełniający warunki N \cap D = \{e\} oraz ND = G (równoważnie DN = G).

Grupę G nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup N i D, co oznacza N \rtimes D wtedy i tylko wtedy, gdy D jest dopełnieniem normalnym N.

Jeżeli grupa G jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup N i D, to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym N \rtimes_\varphi D za pośrednictwem homomorfizmu \varphi:D\to \operatorname{Aut} N określonego jako \varphi_d(n) = dnd^{-1}, czyli sprzężenie n przez d. Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny N \rtimes_\varphi D jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup N\times\{1\} oraz \{e\}\times D, przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • N \rtimes_\varphi D \equiv N \times D wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N jest trywialny.
  • N \rtimes_\varphi D jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy N, D są przemienne oraz \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N jest trywialny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]