Iloczyny grup

Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański

Niech $\{G_{i}:i\in I\}$ będzie rodziną grup, gdzie $I$ jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

$\prod _{i\in I}G_{i}=G_{1}\times G_{2}\times \ldots \times G_{n}\times \ldots =\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):g_{i}\in G_{i},i\in I\}$

z działaniem

$(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},\dots ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2},\dots ,g_{n}h_{n},\dots ).$

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

• elementem neutralnym jest $e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},\dots ),$ gdzie $e_{i}$ jest elementem neutralnym grupy $G_{i}$ dla każdego $i\in I,$
• elementem odwrotnym do elementu $g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )$ jest $g^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1},\dots ,g_{n}^{-1},\dots ).$

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem $\prod _{i\in I}G_{i}.$

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup $G_{i}$ określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup $\prod _{i\in I}G_{i}$ określonego równością

$\coprod _{i\in I}G_{i}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):\exists _{m}\;\forall _{i>m}\;g_{i}=e_{i}\}.$

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Własności

Jeżeli $I=\{1,2,\dots ,n\}$ jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis $G_{1}\times G_{2}\times \ldots \times G_{n}.$

Jeżeli jednak $I=\mathbb {N}$ jest zbiorem przeliczalnym, a $G_{i}$ są nietrywialne dla nieskończenie wielu $i\in I,$ to $\coprod G_{i}<\prod G_{i}.$

Suma prosta

Jeżeli rozważamy grupy $A_{i}$ z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

$\bigoplus _{i\in I}A_{i}.$

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych $G=H\oplus K=K\oplus H.$ Jest również łączny, tzn. jeżeli $G=H\oplus K$ oraz $K=L\oplus M,$ to $G=H\oplus (L\oplus M)=H\oplus L\oplus M.$

Jeżeli $G=H\oplus K,$ to można udowodnić, że:

• dla dowolnych $h\in H,\;k\in K$ zachodzi $h+k=k+h,$
• dla dowolnych $g\in G$ istnieją jednoznacznie wyznaczone $h\in H,\;k\in K$ takie, że $g=h+k,$
• zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. $(H\oplus K)/K$ jest izomorficzna z $H.$

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady

• grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.

Iloczyn półprosty

Iloczyn półprosty zewnętrzny

Niech będą dane grupy $N$ i $D$ oraz homomorfizm $\varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N$ grupy $D$ w grupę automorfizmów grupy $N.$

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup $N$ i $D$ za pośrednictwem $\varphi ,$ oznaczanym $N\rtimes _{\varphi }D,$ nazywa się grupę składająca się z elementów $(n,d),\;n\in N,d\in D$ wraz z działaniem określonym wzorem

$(n_{1},d_{1})(n_{2},d_{2})=\left(n_{1}\varphi _{d_{1}}(n_{2}),d_{1}d_{2}\right)$

oraz odwrotnością daną przez

$(n,d)^{-1}=\left(\varphi _{d^{-1}}(n^{-1}),d^{-1}\right),$

i elementem neutralnym

$(e,1)$

gdzie $e\in N$ oraz $1\in D$ są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny

Niech $N$ będzie podgrupą normalną w $G.$ Dopełnieniem normalnym $D$ podgrupy $N$ w $G$ nazywamy zbiór spełniający warunki $N\cap D=\{e\}$ oraz $ND=G$ (równoważnie $DN=G$).

Grupę $G$ nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup $N$ i $D,$ co oznacza $N\rtimes D$ wtedy i tylko wtedy, gdy $D$ jest dopełnieniem normalnym $N.$

Jeżeli grupa $G$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup $N$ i $D,$ to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym $N\rtimes _{\varphi }D$ za pośrednictwem homomorfizmu $\varphi :D\to \operatorname {Aut} N$ określonego jako $\varphi _{d}(n)=dnd^{-1},$ czyli sprzężenie $n$ przez $d.$ Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny $N\rtimes _{\varphi }D$ jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup $N\times \{1\}$ oraz $\{e\}\times D,$ przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Własności

• $N\rtimes _{\varphi }D\equiv N\times D$ wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm $\varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N$ jest trywialny.
• $N\rtimes _{\varphi }D$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $N,D$ są przemienne oraz $\varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N$ jest trywialny.

Przykłady

• Grupa diedralna rzędu $2n$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym $D_{n}=\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.$
• Grupa izometrii przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też

• holomorf
• iloczyn kompleksowy
• suma prosta

Bibliografia

• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.