Splot (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy działania na grupach. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja[edytuj]

Niech i będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach oraz Dla oraz definiuje się następujące permutacje oraz zbioru

oraz

Ponieważ oraz to oraz istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje przy ustalonym oraz monomorfizmami odpowiednio grup oraz w grupę o obrazach odpowiednio oraz

Splotem lub produktem splotowym grup oraz nazywa się grupę permutacji na generowaną przez i grupy dla wszystkich W zapisie symbolicznym

Ponieważ przekształca w element i nie porusza o ile to z definicji jest

oraz
(1)

Ponadto jeśli to permutacje i nie mogą poruszyć tego samego elementu Wynika stąd, że grupy generują swój iloczyn prosty nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem permutuje składniki proste dokładnie w ten sam sposób, co elementy Skoro elementy oraz nie mogą poruszać tego samego elementu to grupa musi być trywialna. Ponieważ oraz to jest iloczynem półprostym przez w którym automorfizm wyznaczany przez element zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element z elementem czyli przyjmuje

Własności[edytuj]

  • Jeśli oraz działają w sposób przechodni, to również działa w ten sposób.
  • Niech będzie grupą permutacji zbioru zaś będzie bijekcją odwzorowującą a funkcją tzn. dla dowolnego zachodzi Wówczas ustanawia podobieństwo oraz Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Uogólnienia[edytuj]

Niech oraz będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego symbol oznacza grupę izomorficzną z poprzez przekształcenie Niech

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla oraz niech działanie dane będzie wzorem

Powyższe działanie na zadaje iloczyn półprosty który nazywa się standardowym zupełnym splotem przy czym nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne[edytuj]