Trójkąty podobne

Trójkąty podobne

Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: $A,B,C$ oraz $A',B',C'$ tak, aby

${\frac {A'B'}{AB}}={\frac {B'C'}{BC}}={\frac {C'A'}{CA}}=s,$

gdzie $s$ jest pewną $(s\neq 0)$ liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta $\Delta A'B'C'$ względem $\Delta ABC.$

Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy $\Delta A'B'C'\sim \Delta ABC$ i czytamy, że $\Delta A'B'C'$ jest podobny do $\Delta ABC.$

Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli $\Delta A'B'C'\sim \Delta ABC,$ to także np. $\Delta B'A'C'\sim \Delta ACB$ oraz $\Delta C'B'A'\sim \Delta BCA.$ Oznacza to, że w napisie $\Delta A'B'C'$ układ liter $A'B'C'$ wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

• wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali $s,$
• stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:

1. Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk, bo miary kątów trzeciej pary muszą być równe, gdyż suma miar kątów trójkąta jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.

Zastosowania

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.

Pomiar wysokości piramidy

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

Ponieważ trójkąty $OAA'$ i $OBB'$ są podobne zachodzi proporcja: ${\frac {|OA|}{|AA'|}}={\frac {|OB|}{|BB'|}}$ skąd $|BB'|={\frac {|AA'|\cdot |OB|}{|OA|}}.$
Znając $|AA'|$ – długość kija, mierząc $|OA|$ – długość jego cienia i $|OB|$ – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.

Z podobieństwa trójkątów $OA'B'$ i $OAB$ mamy: ${\frac {|OA'|}{|A'B'|}}={\frac {|OA|}{|AB|}},$ czyli ${\frac {|x+AA'|}{|A'B'|}}={\frac {x}{|AB|}}$ skąd $x={\frac {|AA'|\cdot |AB|}{|A'B'|-|AB|}}.$

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy $x.$

Zobacz też

• figury podobne