Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty nie będące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

Oznaczenia i pojęcia wstępne[edytuj]

Niech Z będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitaliego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech F będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze Z i przyjmującą wartości w zbiorze \overline{\mathbb{R}} oraz punkt x_0\in Z. Niech dany będzie również zbiór

W=\{y\in \overline{\mathbb{R}}\colon\, y=\lim_{n\to\infty}F(Q_n),\, (Q_n)_{n\in \mathbb{N}}\},

gdzie (Q_n)_{n\in \mathbb{N}} jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze Z takich, że x\in Q_n\, n\in \mathbb{N} oraz

\lim_{n\to\infty}d(Q_n)=0.

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni \overline{\mathbb{R}}.

Kres dolny i górny zbioru W oznaczamy odpowiednio

\liminf_{Q\to x_0}F(Q) oraz \limsup_{Q\to x_0}F(Q).

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór W jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

\lim_{Q\to x_0}F(Q).

Punkty gęstości[edytuj]

Punkt x\in \mathbb{R}^N nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru E\subseteq \mathbb{R}^N wtedy i tylko wtedy, gdy

\lim_{Q\to x}\frac{l_N(E\cap Q)}{l_N(Q)}=1,

gdzie l_N oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a[edytuj]

Jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitaliego o pokryciu.

Bibliografia[edytuj]