Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty nie będące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze i przyjmującą wartości w zbiorze oraz punkt Niech dany będzie również zbiór

gdzie jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze takich, że oraz

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni

Kres dolny i górny zbioru oznaczamy odpowiednio

oraz

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

Punkty gęstości[edytuj | edytuj kod]

Punkt nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]