Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty nie będące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

Oznaczenia i pojęcia wstępne[edytuj]

Niech będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitaliego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze i przyjmującą wartości w zbiorze oraz punkt . Niech dany będzie również zbiór

,

gdzie jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze takich, że oraz

.

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni .

Kres dolny i górny zbioru oznaczamy odpowiednio

oraz .

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

.

Punkty gęstości[edytuj]

Punkt nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy

,

gdzie oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a[edytuj]

Jeśli jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitaliego o pokryciu.

Bibliografia[edytuj]