Twierdzenie Siegela-Walfisza

Twierdzenie Siegela-Walfisza to twierdzenie analitycznej teorii liczb, udowodnione przez Arnolda Walfisza jako wniosek wynikający z twierdzenia Carla Siegela o liczbach pierwszych. Twierdzenie to jest silniejsze zarówno od twierdzenia o liczbach pierwszych, jak i twierdzenia Dirichleta.

Treść twierdzenia

Niech $\psi (x;q,a)$ będzie drugą funkcją Czebyszewa sumującą jedynie po $n\equiv a\;({\text{mod}}\;q),$ tzn.

$\psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n\leqslant x\\n\equiv a\;({\text{mod}}\;{q})\end{array}}\Lambda (n),$

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta oraz niech $\varphi$ oznacza tocjent Eulera. Wówczas dla dowolnej liczby rzeczywistej $N$ istnieje stała $C_{N}$ zależna jedynie od $N,$ taka, że dla dowolnych $(a,q)=1,$ jeżeli $q\leqslant (\log x)^{N},$ to prawdziwa jest zależność asymptotyczna

$\psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left({\frac {x}{\exp \left(C_{N}{\sqrt {\log x}}\right)}}\right).$

Postać dla funkcji $\pi (x;q,a)$

Twierdzenie Siegela-Walfisza można równoważnie zapisać przy pomocy funkcji liczącej liczby pierwsze $\pi (x;q,a)$ (rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych $p\leqslant x$, $p\equiv a\;({\text{mod}}\;q)$). Wówczas twierdzenie przybiera postać

$\pi (x;q,a)={\frac {{\text{Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left({\frac {x}{\exp \left({\frac {C_{N}}{2}}{\sqrt {\log x}}\right)}}\right),$

gdzie ${\text{Li}}$ oznacza resztę logarytmu całkowego.