Asymptotyczne tempo wzrostu – miara określająca zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.
Do opisu asymptotycznego tempa wzrostu stosuje się notację dużego
(omikron; U+039F, kod HTML: Ο
, Math: \Omicron
) oraz jej modyfikacje, m.in. notacja
(omega),
(theta).
Notacja dużego
została zaproponowana po raz pierwszy w roku 1894 przez niemieckiego matematyka Paula Bachmanna[1]. W późniejszych latach spopularyzował ją w swoich pracach Edmund Landau, niemiecki matematyk, stąd czasem nazywana jest notacją Landaua.
Niech będą dane funkcje
oraz
których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, natomiast przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Mówimy, że
jest co najwyżej rzędu
gdy istnieją takie stałe
oraz
że:

Zapis:
Określenia „złożoność co najwyżej
” i „złożoność
” są matematycznie równoważne.
Wersja notacji dla zachowania się funkcji w pobliżu punktu
jeżeli istnieje takie
i takie
że dla każdego
o tej własności, że
zachodzi nierówność:

Należy zauważyć, że nie precyzuje się tu dziedziny funkcji
i
– zależy ona od kontekstu w jakim występują obie funkcje.
Mówimy, że
jest niższego rzędu niż
gdy dla każdej stałej
istnieje stała
że:

Zapis:
Mówimy, że
jest co najmniej rzędu
gdy istnieją takie stałe
oraz
że:

Zapis:
Mówimy, że
jest wyższego rzędu niż
gdy dla każdej stałej
istnieje stała
że:

Zapis:
Mówimy, że
jest dokładnie rzędu
gdy istnieją takie stałe
oraz
i
że:

Zapis:
Można powiedzieć, że
gdy
jest jednocześnie rzędu
i
Notacja dużego
pozwala wykonywać działania na funkcjach, na przykład:
- jeśli
i
to również 
- przy założeniach jak poprzednio,

Wygoda notacji dużego
widoczna jest w następującej sytuacji: jeżeli
to można napisać zarówno
jak i
czy wreszcie
zależnie od wymaganej dokładności oszacowań.
Napis
należy rozumieć jako
Zależności algebraiczne
[edytuj | edytuj kod]
Notacja
|
Warunek wystarczający
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trychotomia może nie wystąpić w żadnym przypadku (lecz może w przypadku niektórych funkcji i argumentów). Przechodniość, zwrotność, symetria, symetria transpozycyjna są zawsze prawdziwe tylko w przypadku wymienionych zależności funkcji asymptotycznie dodatnich[2].
Przechodniość:





Zwrotność:



Symetria:

Symetria transpozycyjna:


Dla dowolnych dwóch funkcji
i
zachodzi zależność:
[2]
- Jeżeli
oraz
to
oraz
ale również 
- Niech
Korzystając ze wzorów sumacyjnych:
a zatem 
- Jeżeli potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie
to na podstawie tego samego wzoru sumacyjnego można napisać 
- Analogicznie można napisać, że

W zastosowaniach szczególnie często notacja dużego
pojawia się w następujących sytuacjach:
– funkcja
jest ograniczona
– funkcja
jest ograniczona przez funkcję logarytmiczną
– funkcja
jest ograniczona przez funkcję liniową

– funkcja
jest ograniczona przez funkcję potęgową lub wielomian
– funkcja
jest ograniczona przez funkcję wykładniczą
– funkcja
jest ograniczona przez silnię
Rząd złożoności obliczeniowej[edytuj | edytuj kod]
W zależności od asymptotycznego tempa wzrostu, funkcje dzieli się na rzędy złożoności obliczeniowej. Najczęściej wyróżnia się:
|
stała (stała liczba operacji niezależnie od liczby danych wejściowych)
|
|
logarytmiczna
|
|
liniowa
|
|
liniowo-logarytmiczna (lub quasi-liniowa)
|
|
kwadratowa
|
|
wielomianowa
|
|
wykładnicza
|
Najczęstszym zastosowaniem asymptotycznego tempa wzrostu jest szacowanie złożoności problemów obliczeniowych, w szczególności algorytmów. Oszacowanie rzędów złożoności obliczeniowej funkcji pozwala na porównywanie ilości zasobów (np. czasu, pamięci), jakich wymagają do rozwiązania problemu opisanego określoną ilością danych wejściowych. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że im niższy rząd złożoności obliczeniowej algorytmu, tym będzie on wydajniejszy przy coraz większym rozmiarze problemu (np. ilości danych do algorytmu).
W praktyce na efektywność algorytmu wpływa duża ilość innych czynników, w tym szczegóły realizacji. Ponadto dla małych danych wejściowych asymptotyczne tempo wzrostu może nie oddawać zachowania funkcji – np. gdy
(funkcja liniowa
) i
(funkcja logarytmiczna
), zachodzi oszacowanie
(
asymptotycznie rośnie szybciej niż
)[potrzebny przypis], ale dla
wartość funkcji
jest mniejsza niż funkcji
Istnieje również wiele sytuacji kiedy algorytm ma lepszą złożoność obliczeniową niż inne, ale nie stosuje się go, ponieważ jego przewaga w faktycznej implementacji jest widoczna dopiero dla gigantycznych (i kompletnie niepraktycznych) wielkości wejścia, lub ma inne wady (na przykład niestabilność numeryczną – porównaj Algorytm Strassena). Innym powodem może być na przykład fakt, że algorytm ma lepszą złożoność czasową, ale gorszą złożoność pamięciową i vice-versa (tzw. space-time tradeoff).
- ↑ Ronald L Graham, Donald Ervin Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 489. ISBN 83-01-13906-4.
- ↑ a b Thomas H.T.H. Cormen Thomas H.T.H. i inni, Wprowadzenie do algorytmów, KrzysztofK. Diks i inni, Wydanie VII (I w PWN), Warszawa: PWN, 2015 .