Asymptotyczne tempo wzrostu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Asymptotyczne tempo wzrostu – miara określająca zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.

Do opisu asymptotycznego tempa wzrostu stosuje się notację dużego (omikron; U+039F, kod HTML: Ο, Math: \Omicron) oraz jej modyfikacje, m.in. notacja (omega), (theta).

Notacja dużego została zaproponowana po raz pierwszy w roku 1894 przez niemieckiego matematyka Paula Bachmanna[1]. W późniejszych latach spopularyzował ją w swoich pracach Edmund Landau, niemiecki matematyk, stąd czasem nazywana jest notacją Landaua.

Definicje analityczne[edytuj | edytuj kod]

Niech będą dane funkcje oraz których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, natomiast przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Notacja „duże Ο”[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że jest co najwyżej rzędu gdy istnieją takie stałe oraz że:

Zapis:

Określenia „złożoność co najwyżej ” i „złożoność są matematycznie równoważne.

Wersja notacji dla zachowania się funkcji w pobliżu punktu

jeżeli istnieje takie i takie że dla każdego o tej własności, że zachodzi nierówność:

Należy zauważyć, że nie precyzuje się tu dziedziny funkcji i – zależy ona od kontekstu w jakim występują obie funkcje.

Notacja „małe ο”[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że jest niższego rzędu niż gdy dla każdej stałej istnieje stała że:

Zapis:

Notacja „Ω”[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że jest co najmniej rzędu gdy istnieją takie stałe oraz że:

Zapis:

Notacja „ω”[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że jest wyższego rzędu niż gdy dla każdej stałej istnieje stała że:

Zapis:

Notacja „Θ”[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że jest dokładnie rzędu gdy istnieją takie stałe oraz i że:

Zapis:

Można powiedzieć, że gdy jest jednocześnie rzędu i

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Notacja dużego pozwala wykonywać działania na funkcjach, na przykład:

  • jeśli i to również
  • przy założeniach jak poprzednio,

Wygoda notacji dużego widoczna jest w następującej sytuacji: jeżeli to można napisać zarówno jak i czy wreszcie zależnie od wymaganej dokładności oszacowań.

Napis należy rozumieć jako

Zależności algebraiczne Ο, ο, Ω, ω, Θ[edytuj | edytuj kod]

Notacja Warunek wystarczający

Trychotomia może nie wystąpić w żadnym przypadku (lecz może w przypadku niektórych funkcji i argumentów). Przechodniość, zwrotność, symetria, symetria transpozycyjna są zawsze prawdziwe tylko w przypadku wymienionych zależności funkcji asymptotycznie dodatnich[2].

Przechodniość:

Zwrotność:

Symetria:

Symetria transpozycyjna:

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych dwóch funkcji i zachodzi zależność:

[2]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli oraz to oraz ale również
  • Niech Korzystając ze wzorów sumacyjnych: a zatem
  • Jeżeli potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie to na podstawie tego samego wzoru sumacyjnego można napisać
  • Analogicznie można napisać, że

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Najczęstszym zastosowaniem asymptotycznego tempa wzrostu jest szacowanie złożoności problemów obliczeniowych, w szczególności algorytmów. Oszacowanie rzędów złożoności obliczeniowej funkcji pozwala na porównywanie ilości zasobów (np. czasu, pamięci), jakich wymagają do rozwiązania problemu opisanego określoną ilością danych wejściowych. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że im niższy rząd złożoności obliczeniowej algorytmu, tym będzie on wydajniejszy przy coraz większym rozmiarze problemu (np. ilości danych do algorytmu).

W praktyce na efektywność algorytmu wpływa duża ilość innych czynników, w tym szczegóły realizacji. Ponadto dla małych danych wejściowych asymptotyczne tempo wzrostu może nie oddawać zachowania funkcji – np. gdy (funkcja liniowa ) i (funkcja logarytmiczna ), zachodzi oszacowanie ( asymptotycznie rośnie szybciej niż gdyż ), ale dla wartość funkcji jest mniejsza niż funkcji

Istnieje również wiele sytuacji kiedy algorytm ma lepszą złożoność obliczeniową niż inne, ale nie stosuje się go, ponieważ jego przewaga w faktycznej implementacji jest widoczna dopiero dla gigantycznych (i kompletnie niepraktycznych) wielkości wejścia, lub ma inne wady (na przykład niestabilność numeryczną – porównaj algorytm Strassena). Innym powodem może być na przykład fakt, że algorytm ma lepszą złożoność czasową, ale gorszą złożoność pamięciową i vice-versa (tzw. space-time tradeoff).

Standardowe oszacowania[edytuj | edytuj kod]

notacja ograniczenie rząd złożoności obliczeniowej
funkcją stałą złożoność stała (niezależna od rozmiaru danych wejściowych)
funkcją logarytmiczną[a] złożoność logarytmiczna
funkcją liniową złożoność liniowa
złożoność liniowo-logarytmiczna (lub quasi-liniowa)
funkcją kwadratową złożoność kwadratowa
wielomianem złożoność wielomianowa
funkcją wykładniczą złożoność wykładnicza
silnią
  1. podstawa logarytmu może być dowolna większa niż 1, gdyż funkcje logarytmiczne są do siebie proporcjonalne, a pomnożenie przez stałą nie ma znaczenia dla notacji dużego

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ronald L Graham, Donald Ervin Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 489. ISBN 83-01-13906-4.
  2. a b Thomas H. Cormen i inni, Wprowadzenie do algorytmów, Krzysztof Diks i inni, Wydanie VII (I w PWN), Warszawa: PWN, 2015.