Funkcja Czebyszewa

Wartości drugiej funkcji Czebyszewa dla $x<50$ (niebieska), dla porównania funkcja $y=x.$

Funkcje Czebyszewa są dwiema funkcjami wykorzystywanymi w teorii liczb. Swoją nazwę wzięły od nazwiska rosyjskiego matematyka, Pafnutija Czebyszewa.

Pierwsza funkcja Czebyszewa, oznaczana przez $\vartheta (x)$ lub $\theta (x),$ jest zdefiniowana jako

$\vartheta (x)=\sum _{p\leqslant x}\log p,$

dla dowolnej liczby rzeczywistej $x>0,$ gdzie ${\textstyle \sum _{p\leqslant x}}$ oznacza sumę po liczbach pierwszych mniejszych lub równych $x,$ a $\log$ jest logarytmem naturalnym.

Druga funkcja Czebyszewa, oznaczana przez $\psi (x),$ jest zdefiniowana jako

$\psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\log p=\sum _{p\leqslant x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,$

dla $x>0,$ gdzie $\Lambda (n)$ jest funkcją von Mangoldta.

Funkcje $\vartheta$ i $\psi$ (zwłaszcza $\psi$) są wykorzystywane szczególnie często w analitycznej teorii liczb, ze względu na dobre wzory opisujące ich zachowanie w relacji z funkcją zeta Riemanna.

Relacje między funkcjami $\pi ,$ $\vartheta$ i $\psi$

Niech $\pi (x)$ będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Korzystając z sumowania przez części Abela, możemy uzyskać

$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}dt$

i równoważnie

$\pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t(\log t)^{2}}}dt.$

Relacja między pierwszą a drugą funkcją Czebyszewa jest opisana przez

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\sum _{n\leqslant \log _{2}x}\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right),$

przy czym druga równość zachodzi, ponieważ dla $n>\log _{2}x$ zachodzi nierówność $x^{\frac {1}{n}}<2,$ a tym samym $\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0.$

Dodatkowo, korzystając z powyższej równości można wykazać dla $x>0$ prawdziwość ograniczenia

$0\leqslant {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leqslant {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.$

Twierdzenie o liczbach pierwszych

W swojej pierwotnej wersji, twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x\log x}}=1.$

Korzystając z funkcji Czebyszewa, możemy równoważnie zapisać treść jako

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1$

lub

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1.$

Wzór Selberga

W 1948 r. Atle Selberg udowodnił zależność

$\vartheta (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x),$

lub równoważnie

$\psi (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)$

lub

$\psi (x)\log x+\sum _{n\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{n}}\right)\Lambda (n)=2x\log x+O(x).$

Wzór Selberga odegrał kluczową rolę w elementarnych, niezależnych od siebie dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych Selberga i Erdösa.

Związek z funkcją zeta Riemanna

W 1895 Hans von Mangoldt udowodnił, że

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),$

gdzie ${\textstyle \sum _{\rho }}$ oznacza sumę po wszystkich zerach funkcji zeta na $0<\Re (s)<1.$ Funkcja $\psi _{0}$ jest zdefiniowana jako

$\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right).$

Wiadomo, że szeregiem Taylora równym funkcji ${\textstyle \log(1-x^{-2})}$ jest

$-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{k}},$

dlatego ${\textstyle \sum _{\rho }}$ trzeba rozumieć jako sumę po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta, a powyższy szereg – jako sumę po miejscach trywialnych $(-2,-4,-6,\dots ).$

Funkcje Czebyszewa dla ciągów arytmetycznych

Na potrzebę zagadnień dot. liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych (np. twierdzenia Dirichleta), definiuje się często funkcje pomocnicze. Niech dana będzie liczba całkowita $q>1$ oraz względnie pierwsza z nią liczba całkowita $a.$ Wówczas oznaczamy

$\vartheta (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}p\leqslant x\\p\equiv a\;({\text{mod}}\;q)\end{array}}\log p$

oraz

$\psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n\leqslant x\\n\equiv a\;({\text{mod}}\;q)\end{array}}\Lambda (n).$