Twierdzenia Dirichleta o ciągach arytmetycznych

Twierdzenia Dirichleta o ciągach arytmetycznych, zwane również twierdzeniem Dirichleta o liczbach pierwszych, mówi o tym, że w każdym ciągu arytmetycznym postaci $a+qn$ $(n=0,1,2,\dots )$ występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że $(a,q)=1$ (zapis $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ i $y$). Dokładnie, twierdzenie to mówi, że gęstość naturalna liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym $a+qn$ w stosunku do wszystkich liczb pierwszych wynosi $\varphi (q)^{-1},$ gdzie $\varphi$ oznacza tocjent Eulera.

Treść twierdzenia

Niech $\pi (x;q,a)$ będzie funkcją zliczającą liczby pierwsze $p\leqslant x,$ $p\equiv a({\text{mod }}{q})$ Wówczas prawdziwa jest równość

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;q,a)\log x}{x}}={\frac {1}{\varphi (q)}},$

przy czym $\log x$ oznacza logarytm naturalny z $x.$ Treść twierdzenia Dirichleta jest silniejsza od twierdzenia o liczbach pierwszych, które, dla porównania, oznajmia, że

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1.$

Dowody

Oryginalny dowód twierdzenia Dirichlet przeprowadził w oparciu o analizę miejsc zerowych L-funkcji.

W 1948 r. Atle Selberg przedstawił w Annals of Mathematics dowód elementarny, oparty o swój wcześniejszy elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych, oba bazujące na zależności

$\sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+O(1)$

(gdzie suma jest wyłącznie po liczbach pierwszych $p\leqslant x$). Selberg w swoim rozumowaniu wykorzystuje funkcję $\theta (n),$ przyjmującą niezerowe wartości dla $n$ mających 1 lub 2 dzielniki pierwsze oraz równą 0 dla wszystkich $n$ o $\geqslant 3$ dzielnikach pierwszych, ponadto definiuje wagi $\lambda _{d},$ takie, że

$\theta (n)=\sum _{d|n}\lambda _{d}.$

W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej.

Silniejsze wyniki

Rozbieżność szeregu odwrotności

W oparciu o rozumowanie Shapiro można wykazać zależność

$\sum _{\begin{array}{c}p\leqslant x\\p\equiv a({\text{mod }}{q})\end{array}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{\varphi (q)}}\log \log x+A+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)$

dla pewnej stałej $A$ zależnej od $a$ i $q,$ która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych ${\textstyle p\equiv a({\text{mod }}{q}),}$ a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Twierdzenie Siegela-Walfisza dostarcza dokładniejszego opisu ilościowego funkcji $\pi (x;q,a).$ Dokładnie twierdzenie to oznajmia, że jeśli $N$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to istnieje stała $C_{N}$ taka, że jeśli $(a,q)=1,$ to dla wszystkich $x$ takich, że $q\leqslant (\log x)^{N}$ zachodzi

$\pi (x;q,a)={\frac {{\text{Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left({\frac {x}{\exp \left({\frac {C_{N}}{2}}{\sqrt {\log x}}\right)}}\right).$

Uogólniona hipoteza Riemanna

Przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać, że błąd w szacowaniu $\pi (x;q,a)$ spełnia zależność

$\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|=O({\sqrt {x}}\log(qx)).$

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa opisuje zachowanie błędu w szacowaniu $\pi (x;q,a),$ uśrednionego dla wielu ciągów arytmetycznych.

Jeśli $A>0$ oraz $Q>0$ są dowolnymi stałymi, a $x$ spełnia nierówności

${\frac {\sqrt {x}}{(\log x)^{A}}}\leqslant Q\leqslant {\sqrt {x}},$

to prawdziwa jest zależność

$\sum _{q\leqslant Q}\max _{(a,q)=1}\max _{y\leqslant x}\left|\pi (y;q,a)-{\frac {\pi (y)}{\varphi (q)}}\right|=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right).$

Twierdzenie to jest znaczącym wynikiem udowodnionym z wykorzystaniem teorii sit i często może stanowić substytut dla uogólnionej hipotezy Riemanna w dowodach innych twierdzeń.