Twierdzenie Toeplitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Ottona Toeplitza[1]. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład[edytuj]

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech będzie zbieżnym do ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg i ma granicę równą .

Dowód. Skoro dla , to dla dowolnego istnieje liczba naturalna , taka że , dla . Stąd dla . Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez otrzymujemy

(*).

Ponadto oczywiście gdy , co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu możemy zapisać jako . Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi o wyrazach postaci będą zbieżne i czy ich granicą będzie .

Twierdzenie Toeplitza[edytuj]

Niech będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym . Ponadto niech będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy . Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1) dla i dowolnie ustalonej liczby naturalnej ,
(2) dla ,
(3) dla pewnej liczby oraz wszystkich ,

to ciąg , określony wzorem dla jest zbieżny do .

Twierdzenie odwrotne[edytuj]

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym . Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych , ciąg określony wzorem jest zbieżny do granicy ciągu , to

(1) dla i dowolnie ustalonej liczby naturalnej ,
(2) dla ,
(3) istnieje liczba , taka że dla wszystkich .

Przypisy

  1. O. Toeplitz, Über die lineare Mittelbildungen, Prace mat.-fiz., 22, strony 113-118.