Granica ciągu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica ciągu – wartość, w dowolnym otoczeniu której znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej - wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Granica (właściwa) i zbieżność[edytuj]

Niech (a_n) będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę g nazywa się granicą ciągu (a_n), jeżeli

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon,

gdzie symbol |\cdot| oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy a_n leżą w kole K(g, \varepsilon); z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale (g - \varepsilon,\ g + \varepsilon), który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby \varepsilon istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n większych od N wyrazy a_n leżą w kole o środku g i promieniu \varepsilon.

Granicę ciągu (a_n) oznacza się \lim\limits_{n \to \infty} a_n lub po prostu \lim ~a_n, a fakt, że g jest granicą ciągu (a_n), niekiedy oznacza się a_n \xrightarrow{n \to \infty} g lub a_n \to g i czyta się: „ciąg a_n dąży do granicy g”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe[edytuj]

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego N są większe od dowolnej z góry dobranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w +\infty, bądź że jest rozbieżny do +\infty.

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry dobranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w -\infty, lub że jest rozbieżny do -\infty.

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg (a_n) o wyrazach rzeczywistych ma

  • granicę niewłaściwą w +\infty, jeżeli \forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n > M;
  • granicę niewłaściwą w -\infty, jeżeli \forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n < M.


Dla ciągów zespolonych wprowadza się inną definicję.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego N są większe co do modułu od dowolnej z góry dobranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w \infty,, bądź że jest rozbieżny do \infty.

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg (a_n) o wyrazach zespolonych ma

  • granicę niewłaściwą w \infty, jeżeli \forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n| > M.. Tutaj  |a_n| oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć:

ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej defincję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zman zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej  |a_n| wartością bezwzględną liczby rzeczywistyej. W praktyce jednak tej defincji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady[edytuj]

  • Granicą ciągu (1, 2, 5, 13) jest liczba 13. W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
  • Granicą ciągu a_n = \tfrac{1}{n} jest 0.
    Dla dowolnego \varepsilon wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od \tfrac{1}{\varepsilon}.[1] Wówczas dla dowolnego wskaźnika n > N otrzymuje się n > \tfrac{1}{\varepsilon}, czyli \tfrac{1}{n} < \varepsilon.
    Przykładowo dla \varepsilon = \tfrac{1}{1000} wszystkie wyrazy ciągu a_{1001},\; a_{1002},\; a_{1003},\; \dots oddalone są od zera o nie więcej niż \tfrac{1}{1000}.
  • Granicą ciągu b_n = \tfrac{n}{n+1} jest 1.
    Dla dowolnego \varepsilon wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od \tfrac{1}{\varepsilon} - 1. Wtedy dla dowolnego indeksu n > N zachodzi n > \tfrac{1}{\varepsilon} - 1, czyli \tfrac{1}{n+1} < \varepsilon, skąd \tfrac{n}{n+1} > 1 - \varepsilon.
    Przykładowo dla \varepsilon = \tfrac{1}{1000} wszystkie wyrazy ciągu a_{1000},\; a_{1001},\; a_{1002},\; \dots są oddalone od jedynki nie więcej niż o \tfrac{1}{1000}.
  • Ciąg a_n = n jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą +\infty.
  • Ciąg a_n = n(-1)^n jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej +\infty ani -\infty, ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą \infty (w sensie definicji dla ciągów zespolonych ); podciąg a_{2n} jest zbieżny do +\infty, natomiast podciąg a_{2n-1} jest zbieżny do -\infty.
  • Ciągi a_n = (-1)^n oraz b_n = (-1)^n + \tfrac{(-1)^{n+1}}{n} są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio -1 oraz 1; w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
  • Ciąg a_n = \{n\pi\}, gdzie \{\cdot\} oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną 0 i górną 1, każdy punkt przedziału [0,1] jest punktem skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych a_n = i^n nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych a_n =\tfrac{n}{17}\cdot  e^{i\cdot n/17} ma granicę niewłaściwą \infty.

Własności[edytuj]

  • Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
  • Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony[2][3]. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
  • Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
  • Jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne oraz a_n \leqslant b_n dla każdego naturalnego n, to \lim~a_n \leqslant \lim~b_n.
  • Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi (a_n) i (c_n) są zbieżne do wspólnej granicy g, przy czym a_n \leqslant b_n \leqslant c_n dla każdego naturalnego n, to ciąg (b_n) również jest zbieżny i to do granicy g.
  • Jeśli ciągi (a_n),\; (b_n) są ciągami zbieżnymi odpowiednio do a oraz do b, to wykonalne są działania:
    • \lim~(a_n + b_n) = a + b,
    • \lim~(a_n - b_n) = a - b,
    • \lim~(a_n \cdot b_n) = a \cdot b,
    • \lim~a_n/b_n = a/b, o ile tylko b \ne 0 oraz b_n \ne 0 dla każdego n.

Zbieżność w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Ciąg (a_n) elementów tej przestrzeni jest zbieżny do g \in X,, jeśli

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; d(a_n, g) < \varepsilon.

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu (a_n) jest żądanie, by ciąg (d_n) gdzie d_n := d(a_n, g) był zbieżny do 0..

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg x_n jest zbieżny do g, jeśli w dowolnej kuli o środku w g mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu x_n.

Przykłady

  • Zbiór \mathbb R jako przestrzeń metryczna z metryką d(a,b):= |a-b|. Podobnie ze zbiorem \mathbb C
  • Zbiór \mathbb Q liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką d(a,b):= |a-b|. W tej przestrzeni np. ciąg a_n:=(1+\tfrac{1}{n})^n nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
  • Przestrzeniach liniowa z normą \|\cdot\|, jeśli przyjąć jako metrykę d(a, b) = \|a - b\| .
  • Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych[edytuj]

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg (x_n) elementów tej przestrzeni jest zbieżny do x \in X, jeśli

\forall_{U \in \tau}\; \left(x \in U \Rightarrow \exists_N\; \forall_{n > N}\; x_n \in U\right).

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia U punktu x istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n>N wyrazy a_n leżą w otoczeniu U,

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu U punktu x mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu x_n.

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu.[7].

Przykłady

  • Zbiór \mathbb R z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych (a,b),\ \ a,b\in \mathbb R. Podobnie ze zbiorem \mathbb C, tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci \{z\in\mathbb C\ : \ |z-g|<r\},\ \ g\in\mathbb C,\  r\in \mathbb R lub prostokątów postaci \{z\in\mathbb C\ :\  a<\operatorname{Re}\, z<b \wedge c<\operatorname{Im}\, z<d\},\ \  a,b,c,d\in \mathbb R .
  • Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
  • (Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna \mathbb R uzupełniona o dwa elementy -\infty, +\infty z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci (a, \infty)\cup\{+\infty\} oraz ( -\infty,a)\cup\{-\infty\}, \  a\in\mathbb R . Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio -\infty i  +\infty. Wówczas zbieżność ciągu do punktu +\infty w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej +\infty. Analogicznie dla zbieżności do punktu  -\infty. W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej \mathbb R do \mathbb R\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\} powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj \overline{\mathbb R}.
  • (Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna \mathbb C uzupełniona o element \infty z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci \{z\in \mathbb C: |z-g|>r\}\cup\{\infty\}, g\in \mathbb C, r\in \mathbb R (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci\{z: \operatorname{Re}\, z< a \vee \operatorname{Re}\, z>b \vee  \operatorname{Im}\, z <c \vee \operatorname{Im}\, z>d\}\cup\{\infty\}, a,b,c,d\in \mathbb R (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu \infty . Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu  \infty w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej  \infty. W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej \mathbb C do \mathbb C\cup\{\infty\} powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj \mathbb C^* lub \widehat{\mathbb C}.
  • (Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna \mathbb R uzupełniona element \infty z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci (-\infty,a)\cup(b, +\infty)\cup\{\infty\} \  a,b\in\mathbb R . Są to otoczenia otwarte punktu \infty . Wówczas zbieżność ciągu do punktu \infty w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej \infty. W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej \mathbb R do \mathbb R\cup\{\infty\} powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj \mathbb R^* lub \widehat{\mathbb R},.

Historia[edytuj]

Grecki filozof Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne.

Leukippos, Demokryt, Antyfont, Eudoksos i Archimedes wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości. Archimedesowi znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne (x + o)^n, które linearyzuje biorąc granice, tzn. przyjmując o \to 0.

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki zatrzymaniu się w odpowiednim momencie; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego ε istnieje taki wskaźnik N, że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, wówczas niezauważona) i Cauchy'ego w jego Cours d'analyse (1821).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
  2. Dowód: niech dany będzie ciąg \scriptstyle\{a_n \}, zbieżny do \scriptstyle g\in\mathbb R. Niech  \scriptstyle\varepsilon =1. Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie \scriptstyle N, że dla każdego \scriptstyle n>N zachodzi \scriptstyle |a_n-g|<1. Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
    \scriptstyle -1-|g|\leq -1+g<a_n<1+g\leq 1+|g|,
    co oznacza, że
    \scriptstyle |a_n|<1+|g|.
    Połóżmy teraz \scriptstyle M=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots |a_N|,1+|g|\}. Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów \scriptstyle \{a_n \}, co oznacza, że jest on ograniczony.
  3. Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003, s. 54-56. ISBN 83-7171-636-2.
  4. Dowód: Niech \scriptstyle (a_n) będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór \scriptstyle \{a_n, n\in \mathbb N\} ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny \scriptstyle a. Wybierzmy \scriptstyle \varepsilon>0. Z własności kresu górnego istnieje takie \scriptstyle N, dla którego zachodzi \scriptstyle a_N>a-\varepsilon. Dla \scriptstyle n>N, dzięki monotoniczności, mamy
    \scriptstyle a_n\geq a_N>a-\varepsilon
    a jednocześnie
    \scriptstyle a_n\leq a< a+\varepsilon,
    co oznacza, że
    \scriptstyle |a_n-a|<\varepsilon,
    ale to dowodzi, że \scriptstyle  a jest granicą ciągu \scriptstyle (a_n).
  5. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
  6. Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
  7. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów