Granica ciągu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica ciągu – wartość, w dowolnym otoczeniu której znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej - wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Granica (właściwa) i zbieżność[edytuj]

Niech będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę nazywa się granicą ciągu , jeżeli

gdzie symbol oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy leżą w kole z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby istnieje taki wskaźnik że dla wszystkich wskaźników większych od wyrazy leżą w kole o środku i promieniu

Granicę ciągu oznacza się lub po prostu , a fakt, że jest granicą ciągu , niekiedy oznacza się lub i czyta się: „ciąg dąży do granicy ”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe[edytuj]

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Jeżeli jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego są większe od dowolnej z góry dobranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w , bądź że jest rozbieżny do .

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry dobranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w , lub że jest rozbieżny do .

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg o wyrazach rzeczywistych ma

  • granicę niewłaściwą w , jeżeli
  • granicę niewłaściwą w , jeżeli


Dla ciągów zespolonych wprowadza się inną definicję.

Jeżeli jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego są większe co do modułu od dowolnej z góry dobranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w , bądź że jest rozbieżny do .

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg o wyrazach zespolonych ma

  • granicę niewłaściwą w , jeżeli . Tutaj oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć:

ciąg ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej defincję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zman zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej wartością bezwzględną liczby rzeczywistyej. W praktyce jednak tej defincji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady[edytuj]

  • Granicą ciągu jest liczba W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
  • Granicą ciągu jest
    Dla dowolnego wystarczy za wziąć dowolną liczbę naturalną większą od [1] Wówczas dla dowolnego wskaźnika otrzymuje się czyli
    Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu oddalone są od zera o nie więcej niż
  • Granicą ciągu jest
    Dla dowolnego wystarczy za wziąć dowolną liczbę naturalną większą od Wtedy dla dowolnego indeksu zachodzi czyli skąd
    Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu są oddalone od jedynki nie więcej niż o
  • Ciąg jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą .
  • Ciąg jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej ani , ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą (w sensie definicji dla ciągów zespolonych ); podciąg jest zbieżny do , natomiast podciąg jest zbieżny do .
  • Ciągi oraz są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio oraz w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
  • Ciąg gdzie oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną i górną każdy punkt przedziału jest punktem skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą .

Własności[edytuj]

  • Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
  • Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony[2][3]. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
  • Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
  • Jeśli ciągi i są zbieżne oraz dla każdego naturalnego to
  • Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi i są zbieżne do wspólnej granicy przy czym dla każdego naturalnego to ciąg również jest zbieżny i to do granicy
  • Jeśli ciągi są ciągami zbieżnymi odpowiednio do oraz do to wykonalne są działania:
    • o ile tylko oraz dla każdego

Zbieżność w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech będzie przestrzenią metryczną. Ciąg elementów tej przestrzeni jest zbieżny do , jeśli

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu jest żądanie, by ciąg gdzie był zbieżny do .

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg jest zbieżny do , jeśli w dowolnej kuli o środku w mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu .

Przykłady

  • Zbiór jako przestrzeń metryczna z metryką . Podobnie ze zbiorem
  • Zbiór liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką . W tej przestrzeni np. ciąg nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
  • Przestrzeniach liniowa z normą , jeśli przyjąć jako metrykę .
  • Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych[edytuj]

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg elementów tej przestrzeni jest zbieżny do , jeśli

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia punktu istnieje taki wskaźnik , że dla wszystkich wskaźników wyrazy leżą w otoczeniu ,

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu punktu mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu .

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu.[7].

Przykłady

  • Zbiór z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych . Podobnie ze zbiorem , tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci lub prostokątów postaci .
  • Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
  • (Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna uzupełniona o dwa elementy z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci oraz . Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio i . Wówczas zbieżność ciągu do punktu w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej . Analogicznie dla zbieżności do punktu . W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej do powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj .
  • (Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna uzupełniona o element z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu . Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej . W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej do powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj lub .
  • (Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna uzupełniona element z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci . Są to otoczenia otwarte punktu . Wówczas zbieżność ciągu do punktu w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej . W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej do powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj lub .

Historia[edytuj]

Grecki filozof Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne.

Leukippos, Demokryt, Antyfont, Eudoksos i Archimedes wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości. Archimedesowi znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne które linearyzuje biorąc granice, tzn. przyjmując

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki zatrzymaniu się w odpowiednim momencie; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego ε istnieje taki wskaźnik N, że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, wówczas niezauważona) i Cauchy'ego w jego Cours d'analyse (1821).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
  2. Dowód: niech dany będzie ciąg , zbieżny do . Niech . Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie , że dla każdego zachodzi . Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
    ,
    co oznacza, że
    .
    Połóżmy teraz . Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów , co oznacza, że jest on ograniczony.
  3. Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003, s. 54-56. ISBN 83-7171-636-2.
  4. Dowód: Niech będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny . Wybierzmy . Z własności kresu górnego istnieje takie , dla którego zachodzi . Dla , dzięki monotoniczności, mamy
    a jednocześnie
    ,
    co oznacza, że
    ,
    ale to dowodzi, że jest granicą ciągu .
  5. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
  6. Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
  7. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów